Juin 2003

EDIT : ARF...
j'ai fait le boulet j'ai appuyé sur editer au lieu de répondre... lol
ce qui fait que j'ai effacé la 1ere partie... bon je la retape

Question 1

U1/U2 = (V1N1/V2N2)^


Question 2
je commence quand même par dire que pour moi U = N(1- ) et non pas comme il est mis ds l'exam N:rho:
(ca change pas grand chose on est bien d'accord)

ds le formalisme canonique

Z = (Zsp)^N (il n'y a evidement pas lieu de divisé par N! car les N sites sont distinguable)

Zsp = exp(- ) = 1+ exp(- )
car = 0 ou

U = -dlnZ/d = N /(1+ exp(- ))
donc 1- = 1/(1+ exp(- ))
= 1/(1+ exp( ))

ds le micro canonique
j'ai d'abord commencé par calculer S... et puis jme suis dis que c'était quand même débile.

en effet... on a une energie E qu'on dois divisé en tas d'energie , on a donc E / tas. (c'est le nombre d'atome)

E = N * (E / N)
= N(1- )

= 1- E/(N )

mais ca me semble quand meme byzare pcq ils disent d'utiliser l'entropie...
donc je l'ai calculer j'ai :
S/K = NlnN - E/ ln (E/ ) - ((N -E)/ )ln((N -E)/ )

et la je ne sais pas trop quoi faire... isoler E et maximiser S ????
ca me semble byzare... pcq maximiser S c'est évidement prendre E = N /2 -> S = Nln2 et = 1/2

vos avis???

j'ai la meme chose!
(fo tjr se méfier des questions débiles)

jsuis bien d'accord avec toi

Question 3

Z = (Zsp)^N encore une fois il n'y a pas lieu de mettre un N!
Zsp = _n=0àL-1 e^(- n) = (1-exp(- L))/(1-exp(- ))

E = N[1/(e^ - 1) - L/((e^ :beta:L - 1))]

si T-> 0 -> infini

E ~ N[(e^ -) - L(e^ -:beta:L)]
~ N[(1-L) + (L²-1)] != du développement de taylor au premier ordre d'une exponentiel.... donc non... il ne converge pas comme le solide d'einstein... meme si il faut avouer qu'on est pas trop loin...

si T->infini ->0

et E -> 0 ce qui est très different d'un système OH... ou l'energie devrais tendre vers l'infini (enfin je crois)

Question 2
Pour le canonique je suis d'accord

Pour le microcanonique, je partirais du début. soit le macroétat (N*,N-N*) où N* est le nombre de trou. Le nombre de microétats compatibles vaut
fact(N) / fract(N*) fact(N-N*), on maximise le log, on trouve Boltzmann, donc N*=A exp(-beta e)
N-N*= A

d'où A vaut N/Zsp,
d'où N*=Nexp(-beta e)/(1+exp(-beta e)),
d'où rho vaut etc...

bhen c'est ce que j'ai fait... mais je ne vois pas cmt tu maximise ton log...
(d'autant plus que moi il est maximal quand (N*=N/2)

détail un peu cmt tu fais apparaitre boltzman...
merci

pour maximiser le log (avec des contraintes en plus, c là la différence), le plus simple c'est la méthode des multiplicateurs de lagrange, je veux bien détailler, mais si par hasard tu as le bouquin qu'Augustin nous a filé, c'est très bien expliqué à la page 15 et 16.

En fait, c'est la méthode pour trouver les extrémas "liés" en analyse, en plus d'imposer que la différentielle de ln() soit nulle (c'est ce qu'on veut maximiser), tu imposes qu'elle s'annule en même temps que deux contraintes : la conservation de l'énergie et du nombre de particule. Donc tu calcules l'expression de la différentielle de

[1] d(ln())=dln()/dN* dN* + dln()/d(N-N*) d(N-N*)=0

[2] dN* + d(N-N*) = 0 (c débil d'écrire N-N*, mais c'est pour le voir comme une variable sur le meme pied que N*)

[3] e dN* + 0 d(N-N*) = 0

alors pour avoir les trois en mem temps, tu en fais une combili que tu imposes qu'elle soit nulle , d'où

[1] + alpha [2] + beta [3] = 0 [**]

voilà après fo manipuler l'expression, et comme alpha et beta sont inconnus, une manière de garantir [**] donne direct :

ln(N*)=-alpha - beta e
ln(N-N*)=-alpha - beta 0 = -alpha

d'où N*=A exp(-beta e) avec A=exp(-alpha)=constante=N/(1+exp(-beta e)) car N=N* + (N-N*)

c surment pas clair, c pas facil sans latex, mais regarde à la page 15 du "survival guide", c bien expliqué.

ok je vais regarder...

question 4
heu celle la je la sent pas très bien...

déja y a une faute assez énorme dans l'énoncer... pc les fermions de spin 0 y en as pas bcq bcq...

bhen moi je dis n = _ 1_à_:epsilon:2 g( ) f( ) d
(tout mes h sont des hbar)

avec comme d'hab g( ) = dG( )/d
on fait le truc de la sphère comme d'habitude....
avec = h²n²/8ma²

normalement on peut aussi faire g( )d = V(dp)^d/h^d

mais je vois pas trop cmt déterminer le potentiel chimique par la densitée... ou par la température....

0àinfini de g( )f( )d = n a T = 0 (ne dépend pas de mu
0àinfini de g( )f( )d = n a T != 0
mais ici ca dépend de mu donc on peut isoler l'un ds l'autre... mais c'est assez horrible évidement...

si quelqu'un a mieu pour cette question ca m'interesse... (et il y a surement moyen de faire mieu... pcq la c'ets assez naze)

Alors voila... j'ai jeté un coup d'oeil pour la 2 dans le microcanonique (page 15-16 du amit)

donc jsuis bien d'accord que pour maximiser S, il faut que sa dérivée soit nulle...

S/K = NlnN - N*lnN* - (N-N*)ln(N-N*)
dS/dN* = 0
-lnN* - 1 + ln(N-N*) + 1 = 0
Ln N* = Ln (N-N*)
N* = N-N*
N* = N/2

donc on trouve =1/2

il ca n'as pas de sens d'utiliser les multiplicateur de lagrange ici... car on n'as que un seul paramètre.... (m'enfin.. si tu vx le faire va y ).
c'est Ok pour toi?

Je sais pas, avec lé multiplicateurs de lagrange, j'obtenais la meme réponse qu'en partant de Zsp.

Pourquoi on n'as qu'un seul paramètre? tu veux dire quoi? Pour moi ya N*=nombre de trous, N0=nombre d'atomes, et deux contraintes: N=N*+N0 et Etot=N*e.

(é pour la réf, je disais page 15-16 du "survival guide", pas du amit)

Je comprends ce que tu fais, mé je vois pas pourquoi ma méthode est mauvaise alors, si on est sensé obtenir la mem réponse par les deux méthodes, je pencherais pour la mienne, sinon la tienne! lol

Je ne suis pas sur que l'on soie tenu d'obtenir la meme methode, car dans le micro on maximise l'entropie alors que c'est l'énergi libre qui intervient dans la canonique, et a partir de la canonique on retombe en prenant la bonne limite sur 1/2 de la micro (j'ai fait comme loic)

Je pense que ma méthode est en fait celle d'un ensemble canonique et pas microcanonique, ce qui explique que j'obtienne en fait le mem résultat.

Mais quelqu'un sait pourquoi ? Je pensais que c'était micro parce qu'on imposait conservation de l'énergie et du nombre de particule (cfr les deux contraintes) mais apparemment c'est pas ça.

En gros ma question est: pourquoi la méthode des multiplicateurs utilisée ici est celle du formalisme canonique et pas microcanonique ??

en faite c'est très simple...
la technique des multiplicateur de lagrange pertmet de démontrer qu'il y a bien équivalence entre les deux formalisme... (selon moi...)

on a qu'un seul parametre pcq N est fixé... donc N0 = N-N*

Et Comme E est fixé aussi (dans le micro canonique...), tu perds la contrainte sur la somme ei dni (a mon avis....).
Donc c'est trivial de maximiser S et ca impose N*

en revanche si ton E n'est pas fixé.... tu as une contrainte en plus... et la, tu dois maintenant utiliser les multiplicateur de lagrange pour essayer de maximiser S....,
et tu retombe sur exp(-beta E). Qui n'est rien d'autre que la distrib de boltzman.

Donc tu montre que le formalisme canonique se réduit au micro canonique si E est fixé...

selon moi...
à verifier

et si on voit ça comme ça :
dans le formalisme canonique, on considère un seul site comme étant le sous-système, et on regarde l'ensemble des "copies" du ce sous-système comme étant l'ensemble des N-1 autres sites (alors on suppose que N est immense, ce qui est le cas vu qu'on Stirling les factorielles).

Donc on prend un sous-système particulier (qui contient un atome ou non), son énergie peut varier, mais l'énergie du système global est fixée. Par ailleurs le nombre d'atomes et de trou est fixé (=N) , donc c'est bien le formalisme canonique.

Dans le système global, on a N* sous-systèmes d'énergie e et N0(=N-N*) sous-systèmes d'énergie nulle. On a qd mem deux contraintes (meme si dans ce cas, c'est trivial), d'où on peut appliquer les multiplicateurs de lagrange.

Ca confirmerait que cette méthode est valable pour le canonique (ensemble de N sous-système dont l'énergie peut varier, mais l'énergie du système global est fixé et le nombre de particules aussi).

mé bon on commence à tourner en rond...

cyrano a écrit:

Dans le système global, on a N* sous-systèmes d'énergie e et N0(=N-N*) sous-systèmes d'énergie nulle. On a qd mem deux contraintes (meme si dans ce cas, c'est trivial), d'où on peut appliquer les multiplicateurs de lagrange.

jsuis déso... mais c'est pas le nombre de contrainte qui compte... mais bine le nombre de parametre (qui sont soumis a certaines contraintes...)
ici tu 'nas qu'un parametre.. et c'est N*
car N0 est fixé par E et N

c'est vrai qu'on tourne en rond... mon dernier mot est quand meme rho = 1/2.

car entropie max quand il y a un maximum de désordre...,
ici c'est un genre de jeu de pile ou face (si E est fixé et N aussi)
or on sait bien que quand N tend vers l'infini.. on as autant de pile que de face (entropie max pour N* = N/2)
enfin.. c'ets tjrs la meme chose

QUESTION 1
J'ai aussi (V1N1/V2N2)^{1/2}=U1/U2
QUESTION 2
Je suis d'accord avec toi Loic pour le canonique. Pour le microcanonique utilise dS/dU=1/T et tu devrais retrouver la même chose que dans le canonique.

bien vu philippe pour la question 2 c'est trop nikel...
merci bcq, c'est bcq plus simple comme ca
jdis bravo...

Philippe a écrit:

QUESTION 2
Pour le microcanonique utilise dS/dU=1/T

vous faites comment au juste?
merci

bhen...
tu n'as qu'as dériver S par U (que moi j'ai noté E)
et tu dis que ca c'est égal à 1/T.. et tu retombe direct sur la relation dérivée ds le cas canonique

J'ai n'ai pas vraiment lu ce post en détail, mais il y a un truc qui me chiffonne dans l'énoncé de la question 4: on dit que l'on a affaire à des fermions de spin zéro, bizarre non, même si cela n'affecte pas vraiment les calculs.