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 exam juin 2003

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loicus
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MessageSujet: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:07

Question 1...
bhen elle est facile...

question 2
j'ai s(x) = -4/7x²

question 3...
la c'est un peu plus la dech... Wink

x = a1 a2 a3...
x' = a3 a4 ... si a1 = 0
x' = (1-a3) (1-a4)..... si a1 = 1

a) f(Lambda)inclu ds lambda... bhen jsais pas trop mais je dirais...
lambda est tq f(x)^n est ds [0,1] pourtout n=0,1....infini
or si c'est vrai pour tout n, c'est vrai pour n+1
donc f(Lambda) = lambda
confirmation?
b)
SCI... oui.. comme d'hab

c)dimension fractal = 1 car f(Lambda) = lambda
(c'est là que jme dis que c'est surement faux... Wink )
ensemble de mesure nulle....

question 4)... ca serait cool si quelqu'un pouvait le mettre...
pcq jsusi pas sur de ma méthode

question 5)
a) c'est vrai mais jsais pas tres bien cmt le prouvé
x(t) = sin(t)
x'(t) = cos(t)
INT dx = INT cos(t) dt
delta x = 0... ce n'est possible que pour un point fixe...?
pas trop sur de moi

b) elle revient souvent... mais je sais vraiment pas trop
j'ai envie de dire vrai... mais jsais pas dire pourquoi

c) vrai

d)vrai...

j'ai que tu vrai... donc y a un problème... Wink
lol
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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:20

pour la 3 c

c'est faux car il faut considerer tout I, tu t'apperçois que le bon domaine (dans lequel est inclu lambda) pour la premiere itération est le suivant:

tu divise ton intervalle en 4,ne gardre que le premiere et la derniere

pour la prochaine itération, recommence avec chaqun de tes deux intervalles,

et ainsi de suite,

donc tu as deux copies avec un facteur de reduction 4
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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:24

5 a

une fonction periodique ne peut etre solution d'une edo sur la droite, voir exos du chap 1
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:26

tu peux détaillé un peu plus?
jsusi conscient que y avait un truc foireux ds ce que j'ai fait...
mais y a quand meme quelque chose qui cloche...
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:28

pour la trois c?
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:30

oui la 3c

pour la 5a)
c'est tout simplement parceque sinon... on recoupe notre trajectoire?
ce qui est interdit par cauchy?
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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:34

tu prend ton intervalle, tu le divise 4 parts égales. si tu pars des deux du milieux l'application t'envoie en dehors de I, donc lambda est inclus dans le premier et le dernier. Et pour chaque itération, tu redivise chaque intervale (ici celui de droite et de gauche) en 4, tu recommence. Donc a chaque tours tu enleve le milieux de chaque intervalle. Tu as donc un facteur de reduction de 4, et tu gardes 2 copies. J'ai oublié la formule de la dim fractale, mais c'est c'est deux infos que tu as besoin
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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:36

tu integres x point au carré par rapport au temps, tu simplifie les dt et tu t'apperçois que l'integrale est nulle, ce qui est impossible pour une fonct au carrée souf si (periode nulle)
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:38

jsusi tout a fait d'accord avec toi si lambda = {x|f(x) est ds [0,1]}

or ici...

lambda = {x|f(x)^n est ds [0,1] pour tous n}
donc pour moi ton lambda c'est déja le quart du quart du quart..... du quart

t'es pas d'accord?
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Sophie
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 17:57

oui, mais ce qu'on fait toujours, on regarde pour n=0, n=1, n=2, ... pour trouver la dimension Wink
Si tu as mis les conditions pour ton f(x) restreint à LAMBDA tu verras facilement que tu supprimes à chaque fois les 2 quarts du milieu Wink

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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 18:26

d'accord avec sophie
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 18:42

jsusi d'accord avec toi sophie.. mais alors y a un truc qui déconne ds la définition de lambda...

pcq il est défini pour tout n
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dzsaber
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 18:50

lambda est la limite pour n infini de l'ensemble qu'on a décris (le quart du quart du quart...)

c'est justement pourquoi sa mesure est nulle et que sa dimension fractale est fractionnaire, c'est le m cas de figure que dans les exos du syllabus
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 18:58

ouais d'accord...

mais je trouve quand même aps ca très "naturelle"...
Wink

mais bon... c'est vrai que cantor est aussi définni comme ca...
merci pour cette discution fructueuse Wink :p

PS : ptite question secondaire... on est quand meme d'accord que f( LAMBDA ) = LAMBDA ?
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Sophie
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 19:05

non pour ton ps Very Happy
Si tu écris x en base 2, tu peux vérifier que . x1 x2 x3 0 x4 0 x5 ... appartient à f( LAMBDA ) et pas à LAMBDA Wink
(j'écris ça en vitesse, j'ai plus l'exo en tête mais je crois que c'est correct quand même)

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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 19:09

heu..

x = a1 a2 a3...
x' = a3 a4 ... si a1 = 0
x' = (1-a3) (1-a4)..... si a1 = 1

donc jvois pas pourquoi...

EDIT : PS : jsusi désolé de faire chié...
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 19:44

ok, j'ai rien dit, je pensais que f(x) appartient à [0,1] n'implique pas x appartient à [0,1] mais je viens de faire le calcul et c'est le cas.

Donc c'est apparemment la même chose, mais ce n'est plus le cas pour f(f( LAMBDA )).

Et fait attention, tu écris f| LAMBDA au lieu de f quand tu as fais le calcul ci dessus ^^

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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 20:16

oui oui je sais...
justement...

pourquoi tu dis que ce n'est plus le cas pour f(f(Lambda))?
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 20:25

Heu, là je ne sais plus, c'est ptêt bien vrai pour ff:glambda: aussi... Ca me semble trop bizarre alors...

Je crois que je te répondrai demain si personne ne l'a fait avant parce que mon cerveau surchauffe et je m'embrouille Rolling Eyes

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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Lun 12 Juin - 20:45

lol... je comprend ca...
bhen c'est justement pour ca que j'insiste... c'est pcq j'ai l'impression que c'est tjrs vrai... et ca me semble byzare aussi

il fait trop chaud... ya pas moyen de travailler...
faudrais rajouté un ventillo au niveau des oreils... comme pr les pc Wink
bonne nuit
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Sophie
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Mar 13 Juin - 9:51

Bon, alors déjà, les éléments appartenant à LAMBDA sont de la forme . x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ... (en binaire)


un élément de f( LAMBDA ) possède un f(x) de la forme . x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ...

Prenons le cas où le x de départ était plus petit que 1/2. Et donc le x de départ est . 0 0 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ...
Si le x de départ était plus grand que 1/2, alors on a un x de départ qui vaut . 1 1 x1' x1' x2' x2' x3' x3' x4' x4' ...


On voit que ces deux x appartiennent à LAMBDA donc f ( LAMBDA ) est inclu dans LAMBDA . Mais à un élément f(x) correspond deux éléments dans LAMBDA .
Pour moi, les deux ensembles contiennent les mêmes éléments mais ne sont pas "présentés" de la même façon.
Ce sera le même raisonnement pour f(f( LAMBDA )) (raisonnement par induction.

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jfcp
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Mar 13 Juin - 11:31

je veux pas compliquer la disussion plus q'elle ne l'est déjà, mais pourquoi tu écris pas en base 4?
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loicus
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Mar 13 Juin - 11:56

moi j'ai fait en base 2, car t'as la condition x<1/2 et x>1/2 qui est écrite plus facilement en base 2, que en base 4...

mais tu peux aussi le faire en base 4 (mais je en crois pas que ca facilite la vie...)
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devilman
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Mar 13 Juin - 12:00

c'est une dérivée de l'application en tente avec a=4.
tu dois donc ecrire x en base 4 pour avoir les shift sur la gauche quandd tu appliques f.
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devilman
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   Mar 13 Juin - 12:02

jsuis pas trop d'accord avec toi, Loic, à priori...
A première vue, je me demande bien comment cela pourrait être plus facile avec un binaire base-2...

bizarre cet exo...
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MessageSujet: Re: exam juin 2003   

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