exam juin 2003

Question 1...
bhen elle est facile...

question 2
j'ai s(x) = -4/7x²

question 3...
la c'est un peu plus la dech...

x = a1 a2 a3...
x' = a3 a4 ... si a1 = 0
x' = (1-a3) (1-a4)..... si a1 = 1

a) f(Lambda)inclu ds lambda... bhen jsais pas trop mais je dirais...
lambda est tq f(x)^n est ds [0,1] pourtout n=0,1....infini
or si c'est vrai pour tout n, c'est vrai pour n+1
donc f(Lambda) = lambda
confirmation?
b)
SCI... oui.. comme d'hab

c)dimension fractal = 1 car f(Lambda) = lambda
(c'est là que jme dis que c'est surement faux... )
ensemble de mesure nulle....

question 4)... ca serait cool si quelqu'un pouvait le mettre...
pcq jsusi pas sur de ma méthode

question 5)
a) c'est vrai mais jsais pas tres bien cmt le prouvé
x(t) = sin(t)
x'(t) = cos(t)
dx = cos(t) dt
delta x = 0... ce n'est possible que pour un point fixe...?
pas trop sur de moi

b) elle revient souvent... mais je sais vraiment pas trop
j'ai envie de dire vrai... mais jsais pas dire pourquoi

c) vrai

d)vrai...

j'ai que tu vrai... donc y a un problème...
lol

pour la 3 c

c'est faux car il faut considerer tout I, tu t'apperçois que le bon domaine (dans lequel est inclu lambda) pour la premiere itération est le suivant:

tu divise ton intervalle en 4,ne gardre que le premiere et la derniere

pour la prochaine itération, recommence avec chaqun de tes deux intervalles,

et ainsi de suite,

donc tu as deux copies avec un facteur de reduction 4

5 a

une fonction periodique ne peut etre solution d'une edo sur la droite, voir exos du chap 1

tu peux détaillé un peu plus?
jsusi conscient que y avait un truc foireux ds ce que j'ai fait...
mais y a quand meme quelque chose qui cloche...

pour la trois c?

oui la 3c

pour la 5a)
c'est tout simplement parceque sinon... on recoupe notre trajectoire?
ce qui est interdit par cauchy?

tu prend ton intervalle, tu le divise 4 parts égales. si tu pars des deux du milieux l'application t'envoie en dehors de I, donc lambda est inclus dans le premier et le dernier. Et pour chaque itération, tu redivise chaque intervale (ici celui de droite et de gauche) en 4, tu recommence. Donc a chaque tours tu enleve le milieux de chaque intervalle. Tu as donc un facteur de reduction de 4, et tu gardes 2 copies. J'ai oublié la formule de la dim fractale, mais c'est c'est deux infos que tu as besoin

tu integres x point au carré par rapport au temps, tu simplifie les dt et tu t'apperçois que l'integrale est nulle, ce qui est impossible pour une fonct au carrée souf si (periode nulle)

jsusi tout a fait d'accord avec toi si lambda = {x|f(x) est ds [0,1]}

or ici...

lambda = {x|f(x)^n est ds [0,1] pour tous n}
donc pour moi ton lambda c'est déja le quart du quart du quart..... du quart

t'es pas d'accord?

oui, mais ce qu'on fait toujours, on regarde pour n=0, n=1, n=2, ... pour trouver la dimension
Si tu as mis les conditions pour ton f(x) restreint à tu verras facilement que tu supprimes à chaque fois les 2 quarts du milieu

d'accord avec sophie

jsusi d'accord avec toi sophie.. mais alors y a un truc qui déconne ds la définition de lambda...

pcq il est défini pour tout n

lambda est la limite pour n infini de l'ensemble qu'on a décris (le quart du quart du quart...)

c'est justement pourquoi sa mesure est nulle et que sa dimension fractale est fractionnaire, c'est le m cas de figure que dans les exos du syllabus

ouais d'accord...

mais je trouve quand même aps ca très "naturelle"...


mais bon... c'est vrai que cantor est aussi définni comme ca...
merci pour cette discution fructueuse :p

PS : ptite question secondaire... on est quand meme d'accord que f( ) = ?

non pour ton ps
Si tu écris x en base 2, tu peux vérifier que . x1 x2 x3 0 x4 0 x5 ... appartient à f( ) et pas à
(j'écris ça en vitesse, j'ai plus l'exo en tête mais je crois que c'est correct quand même)

heu..

x = a1 a2 a3...
x' = a3 a4 ... si a1 = 0
x' = (1-a3) (1-a4)..... si a1 = 1

donc jvois pas pourquoi...

EDIT : PS : jsusi désolé de faire chié...

ok, j'ai rien dit, je pensais que f(x) appartient à [0,1] n'implique pas x appartient à [0,1] mais je viens de faire le calcul et c'est le cas.

Donc c'est apparemment la même chose, mais ce n'est plus le cas pour f(f( )).

Et fait attention, tu écris f| au lieu de f quand tu as fais le calcul ci dessus ^^

oui oui je sais...
justement...

pourquoi tu dis que ce n'est plus le cas pour f(f(Lambda))?

Heu, là je ne sais plus, c'est ptêt bien vrai pour ff:glambda: aussi... Ca me semble trop bizarre alors...

Je crois que je te répondrai demain si personne ne l'a fait avant parce que mon cerveau surchauffe et je m'embrouille

lol... je comprend ca...
bhen c'est justement pour ca que j'insiste... c'est pcq j'ai l'impression que c'est tjrs vrai... et ca me semble byzare aussi

il fait trop chaud... ya pas moyen de travailler...
faudrais rajouté un ventillo au niveau des oreils... comme pr les pc
bonne nuit

Bon, alors déjà, les éléments appartenant à sont de la forme . x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ... (en binaire)


un élément de f( ) possède un f(x) de la forme . x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ...

Prenons le cas où le x de départ était plus petit que 1/2. Et donc le x de départ est . 0 0 x1 x1 x2 x2 x3 x3 x4 x4 ...
Si le x de départ était plus grand que 1/2, alors on a un x de départ qui vaut . 1 1 x1' x1' x2' x2' x3' x3' x4' x4' ...


On voit que ces deux x appartiennent à donc f ( ) est inclu dans . Mais à un élément f(x) correspond deux éléments dans .
Pour moi, les deux ensembles contiennent les mêmes éléments mais ne sont pas "présentés" de la même façon.
Ce sera le même raisonnement pour f(f( )) (raisonnement par induction.

je veux pas compliquer la disussion plus q'elle ne l'est déjà, mais pourquoi tu écris pas en base 4?

moi j'ai fait en base 2, car t'as la condition x<1/2 et x>1/2 qui est écrite plus facilement en base 2, que en base 4...

mais tu peux aussi le faire en base 4 (mais je en crois pas que ca facilite la vie...)

c'est une dérivée de l'application en tente avec a=4.
tu dois donc ecrire x en base 4 pour avoir les shift sur la gauche quandd tu appliques f.

jsuis pas trop d'accord avec toi, Loic, à priori...
A première vue, je me demande bien comment cela pourrait être plus facile avec un binaire base-2...

bizarre cet exo...