juin 2001

Pour répondre à Gaëtan, voilà ce que j'ai trouvé pour la question 1

Z = ( = 0,k) (k = 1,2) exp [ - (i=1...N) ]

les donnent si l'état est occupé ou pas, et si il l'est, le k donne si c'est une particule 1 ou 2.

J'ai pas mis va de 0 à 2 parce que je pense que ca fausse la distribution les probabilité d'avoir une particule 1 ou rien ne sont pas équivalentes...

Avec ca, j'arrive à trouver S mais pas les nombres moyens de particules...

Non, rien à faire, j'arrive toujours pas à faire cette exercice...

chui aussi coincé pour celui là...
c'est trop bizarre comme exo, parce qu'on demande de calculer S en fonction de T (entre autres) et pour moi la seule manière d'introduire T, c'est de calculer S maximisé et c'est pas précisé qu'on veut le S maximisé (et d'ailleurs partir de la formule liant S à Z suppose qu'on calcule S maximisé aussi).
Et ensuite pour le nombre moyen de particules 1, il faudrait connaitre la proba d'avoir N1=0 particules 1, la proba d'avoir N1=1 particules 1, ... la proba d'avoir N1=K particules 1 etc... et puis calcuer la moyenne, mais comment les calculer ??? Tout ce qu'on peut calculer c'est le nombre de particules 1 pour lequel la proba d'en avoir autant est maximale...
quid???

alors moi j'arrive a calculé le Zgc (si c'est pas trop mauavais), mais pour le reste les expression sont tellement pas belle que j' ai arreter avant la fin

Zgc = _{nk} _{nk1 avec la contrainte nk1+nk2=nk} e^[ _k (µ nk - e1 nk1 - e2 nk2)]

on fait d'abord la somme sur tout les ensembles de particules possibles...
ensuite pour un nk fixé... on fait la somme sur tout les nk1 de 0 à nk (en gros on sait qu'il y a nk particule sur le site k, et on coupe ce nombre de particule en 2 tas... le nombre de nk1 et le nombre de nk2)
et apres on a le produit sur k(car l'état du système est le produit des état de chaque sites...).

_{nk} _{nk1} _k e^[ (µ nk - e1 nk1 - e2 (nk-nk1))]

on permutte somme et produit... car il n'y a plus de contrainte...

_k _{nk} _{nk1} e^[ (µ nk - e1 nk1 - e2 (nk-nk1))]

on peut remarquer que dans notre cas.... nk va de 0 à 1
-> nk = 0 -> nk1 = 0
-> nk = 1 -> nk1 = 0 ou 1
donc notre double somme ce reduit a 3 terme : (nk=0,nk1=0)(nk=1,nk1=0),(nk=1,nk1=1).
Zgc = _k [1 + e^( (µ - e1)) + e^( (µ - e2)) ]

voila... je trouve que ce n'est pas trop trop moche... et ca me semble donc potentiellement juste . Notons que le produit sur k va de 0 à l'infini...(ou N???) et que notre terme de dépent plus de k...

= - lnZgc/

N(µ) = - dln /dµ
ici je pense qu'il faut inverser pour avoir µ(N) (attention ce n'est vraiment pas beau... et j'ai pas essayé de le faire)
S = -dln /dt

on trouve bien S(T,N,e1,e2)

voila... qu'en pensez vous?

La fonction grand canonique me semble correcte. Moi j'ai fait différemment, quelqu'un peut me dire si ca a du sens ou pas du tout ce que je fais? parce que je le sens pas du tt ce cours en général... snif

donc voilà jme suis mis a compter directement le nombre de microetats accessibles pour un macroétat (N1,N2), et en fait comme il peut ne pas avoir de particule sur un site, je pose que dans ce cas c'est comme si on avait une particule0 d'énergie nulle (pourquoi pas puisque les contraintes d'énergie totale et de particules totales sont respectées).

Donc je trouve que le nombre de microétat pour le macroétat (N0,N1,N2) est, sachant que N=N0+N1+N2 :

fact(N) divisé par [fact(N0) * fact(N1) * fact(N2)], puis à coup de stirling je trouve une expression pour le logarithme de ce nombre.

Ensuite pour égaliser ça à l'entropie je maximise ce nombre et je trouve que pour ça,
N0=A (constante, en fait = N/Zsp = exp(-alpha) on peut le redéfinir pour faire apparaitre le )
N1=A exp(-e1/kT)
N2=A exp(-e2/kT)

j'insère ça dans le log et je trouve S.

Pour faire le lien avec Zgc, je dirais alors que
Zgc est ici égal à (Zsp)^N puisque je trouve

Zsp=1 + exp(-e1/kT) + exp(-e2/kT)

expression dans laquelle on peut faire apparaitre le avec Zsp=N/A où A=exp(-alpha) où alpha = mu)

ce qui concorderait avec la somme de zéro à N de Loicus... puisque le terme sommé n'en dépend pas.... edit: pas sur après coup ya qqch ki coince...

quid???

ca m'as l'air plausible aussi...
parcontre moi je pense que ma some va jusqu'a l'infini.... (je n'en suis pas sur et certain...)
mais ca me semblerais logique... car comme on ne connais pas N... on somme sur toutes les valeurs possibles de N... (de 0 à infini)

ce qui fait que ta somme ne se réduit pas vraiment à la mienne.

mais je ne suis pas sur que ton N soit égal au mien donc...

moi mon N c le nombre de sites et il est fixé.... ce qui ne change rien au probleme de tt maniere

a de faite.... tu as raison ma somme va jusqu'a N(le nombre de site)...

ya bien qqch qui foire dans mon raisonnement parce que ce que je fais est équivalent a dire qu'on considère une particule qui peut se trouver dans divers états d'énergie, alors qu'on considère deux particules distinctes dès le départ, et ça doit apparaitre qq part... du coup je me demandais si on pouvait pas séparer le problème en deux, trouver Z pour chaque particule et les multiplier ensuite ou un truc du genre?

Voila, moi je me demande si il faut bien un mu, parceque mu est le variation d'énergi de ton systeme si tu ajoute une particule.

Je pense qu'ici a la place du mu il y a e1 et e2 qui représentent la variation d'énergie de ton systeme si tu ajoute une particule du type un ou deux.

Tu écris alors directement Zgc, avec mu remplacé par e1 ou e2, et e=o. On obtient la meme expression que cyrano, mais ce qui m'embete c'est le signe devant beta e1 et beta e2, un plus ou un moin?

alors tu fait la deuxieme partie de l'exo en dérivant par rapport a e1 ou e2, d'apres la relation entre potentiel chimique et nombre moyen de particules.

je pense pas nadi...
je vois pas cmt tu peux justifier cela...
mais je pense pas que ce que j'ai fait soit hyper bon non plus... c'est vraiment la merde

pour en revenir a ma question, vous pensez qu'on peut calculer Zgc en une fois? parce qu'à la base, Zgc est défini pour un ensemble de particules identiques non? or si on a deux sortes de particules, il faut pas calculer séparément? a tt hasard, j'ai essayé et j'obtiens ceci:

je commence par considérer juste N1 particules sur N sites, je trouve alors
Zgc1= (sum N1=0,...,N) exp(beta N1(mu-e1))

ensuite je considère N2 particules sur N-N1 sites, ce qui donne :
Zgc2= (sum N2=0,...,N-N1) exp (beta N2 (mu - e2)).

et puis je fais le produit pour trouver Zgc(1+2).... on peut meme calculer la somme jusqu'au bout et j'obtiens bien du Zgc en fonction de T,N,e1 et e2. l'expression n'est pas trop moche non plus....

edit : a non il reste du N1 dans un exposant (ça aurait été N2 si j'avais commencer par placer les N2 particules 2 d'abord).... en effet, c la merde...

re-edit : ya qd mem moyen de faire la somme

ça a du sens ou pas du tout??

a mon avis il y a quelques choses qui forie...

deplus je ne pense pas que Zgc soit forcément défini pour un ensemble de particule identique...
d'autant plus que dans ce cas présent.... tu peux voir ca comme la meme particule qui peut etre dans 2 états...(fondamental et etat exité...)

je ne sais vraiment pas...
j'aurais pas aimer l'avoir celui la