Question II Juin 2004

On considère la fonction S , définie sur l'ensemble des fonctions x(t), t appartenant à [0,1], à valeurs réelles, de classe C , avec x(0) = x(1) = 0:

S (x) = (x' (t) - x (t)) dt où appartient aux réels.

Donnez une condition suffisante sur , la plus générale possible, pour que, soit le minimum de S soit ne soit pas unique, soit n'existe pas. Si l'on considère le même problème, mais avec x(0)=x(1)=1, au lieu de x(0)=x(1)=0, pour quelle(s) valeur(s) de existe-t-il au moins un point stationnaire de la fonction S ?

En calculant les E-L, j'obtiens que si =n , pour tout n appartenant aux naturels, on a une infinité de solution... Mais il en existe tjrs ds ce cas... comment montrer qu'il n'en existe pas??

Et qd on considère le problème avec x(0)=x(1)=1, je trouve pas la valeur de pour qu'il y ait un pt stationnaire... Qqn peut-il m'aider??


PS: je déteste ces questions de principes variationnels

Ben en fait, tu vois que la première chose qui influence la solution c'est le signe de . Tu aura soit une solution périodique et si tu impose les conditions ça te donne soit la solution triviale nulle soit une : A sin(...) où A est arbitraire. Donc pour ce signe la solution est soit unique pour des lambda devant manifestement ressemblés à ceux que tu propose soit non unique ( A arbitraire). Si tu prend l'autre signe, tu trouve des solutions non bornée (exponentielle) . x(0) implique que la solution est du type cosh or, x(1)=0 ne pourra jamais être satifait pour cette fonction : il n'exite pas ni de minimun ni de maximun.

Tu recommence la même chose pour les autres conditions et le tour est joué.

en fait c'est des sinh. Mais celà ne change rien car sinh(1)<>0