Question III (09-2002/06-2003)&question II(06-2004/09-20

On procède comment pour ce genre d'exos?? Car on n'en a jamais fait des cô ça en séance d'exo!!!
Et ça revient assez souvent...

heu je vien d'essayé
la question 3 de septembre 2002
a)

S(x) = x'²/2 + x dt

on a un minimum si on satisfait EL (je pense)

d/dt (dL/dx') = x'' = dL/dx = 1

X = t²+At+B

B=0
A=-1/2

S(x) = 5/8

b)

rotation autour de y=1 (ca me plait pas trop, donc je translate tout de -1, l'air sera évidement la meme)
rotation autour de y=0
y(0) = 0
y(1)=1

S = ds = 2 y(x) dl
comme dl = sqrt(dx²+dy²) = sqrt(1+y'²)dx
S = 2 y(x) sqrt(1+ y'²) dx

donc, il faut satisfaire l'équation
d/dt [y²y'/sqrt(1+y'²)] = y/sqrt(1+y'²)

(j'ai essayé de la résoudre, IMPOSSIBLE) troooooo chaud!
mais bon, il demande explicitement une équation differentiel d'ordre 1, donc jme dis que c'est pt'etre ca.... (meme si j'ai pas utilisé les condition initiale)

Est-ce qu'on pourrait donner les énoncés de ces questions? Parce que je ne les ai pas ces résol.

Ok, merci, jvais essayé de m'en sortir avec ça mais pour le a)
x(t) ne serait pas égal à t /2 + At +B auquel cas A = 0 et S(x)= 1/3

Pour le b), je vais m'inspirer de ce que tu as fait et je dirai quoi tantôt si j'obtiens la même chose.

Ms merci bien et bonne continuation!

III) septembre 2002:

a) on a la fonction S(x) = ((x'(t) /2) + x(t)) dt qui admet un minimum sur x(t) , t appartenant à [0,1] avec x(0) = 0 et x(1) = 1/2. Calculez ce minimum

b) Ecrivez, sous la forme d'une équation différentielle du premier ordre, l'équation que doit satisfaire la courbe y=y(x), y(x)>=1, qui passe par les points (0,1) et (1,2) et qui minimise l'aire de la surface de révolution autour de l'axe y=1

oui, de faite, jme suis trompé

X = t²/2 + At + B

Petit détail pour l'exercice a sur la résolution de Loîc, Titi a raison: moi j'ai calculé

x(t)=t²/2 + At + B

où A=B=0 pour les conditions aux frontières.

En effet x''=1 et si x(t)=t²-t/2, x''=2 et pas 1.

Et de là on calcule S=1/3

Pour le b), si on veut exprimer l'aire minimale sous une équation différentielle du premier ordre, on doit utiliser la note dans le cours CH6 p 13-14, (en fait l'équation de Loïc est juste, mais je ne sais pas comment il a procédé pour l'obtenir).

Soit h(x)= 2 y(x) sqrt(1 + y'(x)²), alors la quantité

(y', dh/dy')-h est constante le long d'une solution des équations d'E-L.

On calcule alors cette quantité et on obtient y(x)/ sqrt(1 + y'(x)²)=constante.

La solution est une famille de courbe y(x)=a cosh(x/a +b)

comme y(x) >= 1, le minimum de y=1 et le minimum de cosh(x+b) c'est 1* en x=-b, les coordonnées du minimum de y est (0,1) selon les conditions initiales et b=0. On a aussi y(2)= a cosh(1/a) = 2. C'est une équation compliquée à résoudre et je me suis dit qu'on ne peut résoudre cette équation que graphiquement et que la question de l'examen est d'établir une équation et pas de la résoudre entièrement.



* EDIT: en fait j'ai raisonné ainsi pour pouvoir supprimer b.

EDIT 2: l'équation a cosh(1/a)=2 peut ne pas admettre de solutions.

lbsp a écrit:

(en fait l'équation de Loïc est juste, mais je ne sais pas comment il a procédé pour l'obtenir).

bhen t'as qu'as lire, j'ai expliqué

lbsp a écrit:

(y', dh/dy')-h est constante le long d'une solution des équations d'E-L.

t'as recopié? betement le syllabus?
y a une faute dans le syllabus!
c'est y' dh/dy' - h (l'hamiltonien quoi!!!)

EDIT :
sophie me signale que c'est un produit scalaire
je retire ce que j'ai dis :p

lbsp a écrit:

La solution est une famille de courbe y(x)=a cosh(x/a +b)

coment tu trouve ca?

Euh en fait je ne sait pas comment tu a trouvé la solution du fait que j'ai calculé plusieurs fois sans avoir le même résultat que toi.

Quand je dis que la solution est une famille de courbes y(x)=a cosh(x/a +b), c'est dans le syllabus aussi.

Le truc c'est de savoir que 1 + sinh²(x) = cosh²(x)

Et y'(x) = sinh(x/a+b) et donc

a cosh(x/a +b)/sqrt(1+sinh²(x/a+b))= a = constante

Donc la solution générale est bien cela.

De toute façon, il demande juste l'équation et il ne demande pas de la résoudre

bon.... bhen ptit explication pour lebi alors

l'aire d'une surface, c'est
S = ds
ici, on a une surface de révolution, c'est dont l'intregrale sur la longueur de circonference de cercle de rayon y(x)

S = 2 y(x) dl

comme toujours, on récris dl en terme de dx et dy
dl = sqrt(dx²+dy²)
on sort dx, car on doit déja integré y(x) par rapport a x
dl = sqrt(1+y'²)dx

on remplace dl par sa valeur
S = 2 y(x) sqrt(1+ y'²) dx

hocus pocus .... la formule magic s'éclaire

Et Libsp, ton = cste, ça vaut -1/2 ?

Car qd je calcule la solution générale, j'obtiens -2 y(x)/sqrt(1+y' (x)). C'est normal???

Et Loic, qd est-ce que ça intervient le fait que la courbe passe par (0,1) et (1,2)?? Faut qd même utilisé cela pr trouver l'équation que ça doit satisfaire, non?

bhen pour que ca intervienne, il faut résoudre l'équa diff...

et moi j'y arrive pas en tout cas

En fait mon problème Loïc c'est quand je calcule d/dt(yy'/sqrt(1+y'²)), j'obtiens y'²/sqrt(1+y'²)+yy''/(1+y'²)^3/2, qui n'est pas égal à y/sqrt(1+y'²)

En fait la fonction y(x) sqrt(1+ y'²) n'est pas un Lagrangien, c'est peut-être pour ça que je ne comprends pas ton d/dt dans ton premier post de ce sujet.

En ce qui concerne ma constante, je ne sait pas ce qu'elle vaut, il faut la déterminer via les conditions aux frontières.