Exercice 6 sur les groupes

Cet exercices ne me pose pas trop de problèmes, sauf pour montrer que E(2)/T(2) = SO(2). Je pensais montrer ça avec la définition des relations d'équivalence :
g ( , 0 ) appartient à T(2)
mais ça ne marche pas.
Je me trompe peut-être de méthode ? g doit appartenir à E(2) ou T(2) ?
Merci à ceux qui me répondront

hem... pour ça je ne sais pas trop mais dit,... moi j'arrive pas à commencer. ou plutôt, j'arrive pas à avoir SO(2) non invariant.
pour la loi de composition j'ai séparer l'effet rotation et l'effet translation.
dès lors, j'ai :

cos sin -a1
-sin cos -a2
0 0 1

en fait, je fait ( ,r) = g() + (a1,a2,0)
g() fonctionne comme une matrice et le vecteur a s'additionne...

mais à mon avis, c pas ça qu'il fallait faire !

Au secours, une fois lancé, je réfléchirais avec toi pour ton prob !

lol pas de problèmes

Pour la loi du groupe

1) ( ,a ) ( ,b ) = tu fais le produit matriciel = ( + ,c )
où c = ( b1 cos - b2 sin + a1, b1 sin:phi: + b2 cos + a2)

2) l'élément neutre est (0,0)

3) l'élément inverse pour ( ,a ) est ( - ,b )
où b = ( cos ( sin cos a2 + (sin² + 1) a1) , -a2 cos + a1 sin )

Tu fais toujours ces calculs simplement en remplaçant ( ,a ) par les matrices correspondantes, pas besoin de séparer (et il ne faut pas d'ailleur parce que la rotation influence la translation).

Pour montrer que T(2) est invariant, il faut montrer que

( ,a ) ( 0 ,b ) = ( 0,e ) ( ,a )
on trouve que ça marche bien pour un e = ( cos b1 - sin b2 , sin b1 + cos b2 )

So(2) n'est pas invariant si

( ,a ) ( ,0 ) ( ,a ) n'appartient pas à SO(2).
Et on voit en calculant ces matrices qu'il y a bien des termes qui ne s'annulent pas dans la dernière colonne.

Tout est un peu plus clair où tu as d'autres questions ?

Sophie a écrit:

lol pas de problèmes
Pour montrer que T(2) est invariant, il faut montrer que

( ,a ) ( 0 ,b ) = ( 0,e ) ( ,a )
on trouve que ça marche bien pour un e = ( cos b1 - sin b2 , sin b1 + cos b2 )

So(2) n'est pas invariant si

( ,a ) ( ,0 ) ( ,a ) n'appartient pas à SO(2).

jusque la je suis d'acord avec toi...

pourquoi tu utilise deux definition differente de l'invariance?
j'ai essayé avec la classique (celle que tu utilise pour SO(2))pour démontrer T(2), c'est une horreur de calcul qui ne mene a rien...

en faite, je vien de verifier dans la théorie,(P250)

H invariant <--> gH = Hg pour tout g apartenant a G

mais est ce que cette relation dois etre vrai pour un certain h apartenant a H ou pour tous...
je me pose la question, a mon avis je dirais pour tous... mais bon

sophie, tu ne sias pas me dire ou tu as vu ca?

sinon, pour montrer que E(2)/T(2) ~= SO(2)

soit l'homomorphisme : E(2) -> SO(2) qui envoye ( , a) -> ( , 0) ~= SO(2)

on a que Ker = T(2)

et donc, E(2)/T(2) ~= SO(2) (vive le vieux théoreme... :p )

loicus a écrit:

pourquoi tu utilise deux definition differente de l'invariance?
j'ai essayé avec la classique (celle que tu utilise pour SO(2))pour démontrer T(2), c'est une horreur de calcul qui ne mene a rien...

Lol je l'utilise seulement pour ne pas avoir tous ces horribles calculs Et oui, ce sont les même définitions. H signifie "un élément de H" et on a donc deux éléments différents (ou en tt cas pas forcément les mêmes).
Sinon, je suis aussi à la page 50, tu as 2 définitions :
g H g appartient à H
ou gH = Hg

Citation :

sinon, pour montrer que E(2)/T(2) ~= SO(2)

soit l'homomorphisme : E(2) -> SO(2) qui envoye epsilon ( phi , a) -> epsilon ( phi , 0) ~= SO(2)

on a que Ker = T(2)

et donc, E(2)/T(2) ~= SO(2) (vive le vieux théoreme... :p

oui, mais le vieux théorème ne marche que quand les sous groupes sont invariants non? Sinon tu fais le contraire et ça devrait marcher aussi, hors ce n'est pas le cas.

ok...
ici c clair

lol, oui c'est clair mais on n'a toujours pas la réponse

bhen si

comme SO(2) est pas invariant
on a E(2)/SO(2) != T(2)

ensuite pour l'autre,
(,a) != (,0) (0,a)
(,a) !=
[c -s 0] [0 0 a1] [0 0 ca1 - sa2]
[s c 0] x [0 0 a2] = [0 0 sa1 + ca1]
[0 0 1] [0 0 0] [0 0 0 ]
vive la notation matriciel

ce n'est pas le meme groupe, donc E(2) != SO(2)xT(2)

oui mais non, tu ne peux utiliser ce fait que si les 2 sous-groupes sont invariants... Donc ça ne tient pas, ni pour un, ni pour l'autre parce que ça n'est va que dans un sens (ce n'est pas une condition suffisante)

j'ai pas la même matrice inverse ! zut, ou est l'erreur ?

dans le syllabus, à al fin de la page 251, y a deux remarques à partir desquelles on tire :

H invariant <==> H = Ker pour un certain homomorphisme

surjectif : G -> G' et G/H =~ G'


je suis d'accord dans l'ensemble sauf pour "G/H =~ G'"

voici donc ma version des faits :





je sais, c vachement vaseu comme raisonnement mais j'essaie juste de comprendre.

de toute façon , je sens qu'à l'exam, je vias lui lacher la proposition telle quelle et l'utiliser telle quelle

une autre question cependant :

est-ce que cette proposition admet une inverse, c à d :

H non invariant <==> H =/ Ker pour tout homomorphisme ... ?
et G/H =/~ G'

?

Pour les calculs de ton premier message, c'est peut-être moi qui ai fait une faute pour l'inverse. J'ai regardé ton raisonnement, il est le même que le mien donc ça doit seulement être une bête erreur de calcul.

Pour la deuxième salve, c'est bien pensé d'utiliser cette proposition. Est-ce que tu peux m'expliquer plus en détails le petit paragraphe que tu commences par "Nous avons T(2) invariant". Je n'ai pas bien compris comment tu trouves que l'image de c'est SO(2). Ton , c'est ton d'avant non?

si je me souviens bien, dans la proposition, on a :

H invariant <==> H = Ker pour un (...) : G -> G'
et G/H =~ G'

en gros, voilà ce que je fait :

je sépare en 1 et 2 telles que :

1 : G -> G/H
2 : G/H -> G'

par la proposition, 2 est un isomorphisme de G/H dans G'

donc, pour l'ex, on cherche :

E(2)/T(2) =~ SO(2)

pour appliquer la proposition telle quelle, je pose :

T(2) = H,
E(2) = G, (pour avoir G/H = E(2)/T(2)
SO(2) = G'

ainsi, puisque T(2) est invariant, il existe : E(2) -> SO(2) surjectif et l'on a de plus E(2)/T(2) =~ SO(2) par la proposition.

pour prouver que E(2)/SO(2) =!~ T(2), je prends la contraposée de la proposition (je ne sais si je peux mais je ne vois pas comment faire autrement alors...). Bref :

H non invariant <==> H =! Ker pour tout (...)
et G/H =!~ G'

pour le produit direct, il est écrit dans le cours que :

G x G' est bien un groupe et que de plus G et G' respectivement sont tous deux des s-g invariants de G x G'

ici SO(2) n'est pas invariant dans E(2), donc, E(2) n'est pas la produit direct de SO(2) et T(2)