TP sur les groupes: ex sur les groupes 9 et 14b

Voilà, je ne sais pas s'il y en a qui les ont faits mais je pose quand même la question.

Dans l'exercice 9, on nous demande de démontrer que dét(e^A)=e^trA
J'arrive à démontrer cela pour une matrice triangulaire mais pas pour une matrice quelconque. De plus pour le 9 a, je me demande si dét (1+A)=~1+trA pour A proche de O (la matrice nulle) plutôt que pour A proche de 1. En effet pour une matrice d'ordre 2 j'obtiens:

dét (1+A)= 1+a11+a22 + det A

Si dét A=~0 c'est gagné, mais si A est proche de 1, dét A=~1 et là il y a problème.

Pour l'exercice 14b), après avoir calculé les représentations irréductibles de SU(2) pour l=1/2 et l=1 par exponentiation, on nous demande de trouver la transformation unitaire qui relie la représentation l=1 calculée précédemment à le représentation des générateurs de SO(3), c'est-à-dire une matrice U telle que

U[dagger]MU= S pour M appartenant à SU(2) et S appartenant à SO(3)

c'est comme ça que j'ai interprété.

Mais je suis alors tombée sur des calculs astronomiques pas croyables avec plein d'équations en termes quadratiques avec 18 paramètres à déterminer. Là je me suis demandée si j'ai mal raisonné ou bien qu'il existe une méthode bien plus simple.

Ce serait bien sympathique si quelqu'un pourrait bien m'aider à ce propos.

Alors? Personne n'a fait l'exercice 9 et 14b ?

Snif , j'ai vraiment des problèmes pour le 14b parce que j'ai l'impression que c'est un exercice important pour l'examen, ce serait vraiment sympathique si quelqu'un pourrait m'aider en ce domaine.

J'ai la même chose que toi pour le point 9(a)
det (1 + A) = 1 + a11 + a22 + det (A)
Mais si tu poses le déterminant nul, tu auras une ligne nulle et donc tu risques bien d'avoir une trace nulle si ta matrice A est proche de 1. Donc pour la correction, je pencherait plutôt pour
det (1 + A) =~= 2 + tr A.

En ce qui concerne le 9 (b), je ne vois pas trop ce que représente l'exponentielle d'une matrice. Il faut faire éléments par éléments ? Sinon, si tu y arrives avec une matrice triangulaire, il suffit de triangulariser ta matrice avant, non ?

Pour en déduire la propriété, c'est simplement un développement de Taylor au 2ème ordre de l'exponentielle il me semble.

PS : Est-ce que tu peux expliquer comment tu trouves tes représentations de SU(2) dans le 14) ? Est-ce simplement une représentation quelqconque de SU(2) en dim = 2 pour l = 1/2 et une représentation de SO(3) de dim 3 pour l = 1 ?

Pour la 14, les réponses se trouvent dans le syllabus p 298 (les réprésentations irréductibles ce sont les Dl)

Pour le 14 b , Piroux m'a donné une piste pour le changement de base: on trouve les vecteurs propres de J3 (générateur infinitésimal de S0(3)) et comme les vecteurs de base de S3 (générateur infinitésimal de SU(2)) sont (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) pour les valeurs propres 1,0,-1 respectivement, on trouve le changement de base (UdaggerJ3U=S3 où U est la matrice de changement de base, je crois).

Pour le 9b, l'exponentielle d'une matrice est donnée par

exp A = 1 + A + A²/2 +...

J'ai d'abord supposé A triangulaire, c'est-à-dire que

detA= aii (convetion d'Einstein)

donc comme les éléments diagonales de exp A sont 1+aii +aii²/2+...=expaii

det expA= expaii = exp ( aii) = exp(trA)

Pour le cas général, je triangularise A= E A' où E est la matrice élémentaire de triangularisation et A est triangulaire

Si je suppose que exp EA'= exp E.expA' et que détE=1 (c'est pas toujours le cas mais je suppose qu'on ne fait par de permutations), je pose

dét exp(EA') = det(expE) . det(expA') = exp(trE).exp(trA')

et c'est là que je me pose des questions:

- Soit trE=0 et trA'=trA (la trace de A est conservée dans une opération de triangularisation)
-Sinon si trA'est différent de trA alors trE n'est pas nulle et là ça devient plus compliqué.

Faut peut-être demander à un mathématicien pour ça.

Alors, pour l'exercice 14 b), avec tes indications, j'obtient que la matrice U vaut :

....... 0 .....
-i ..... 0 ..... i
0 ........ 1 ........ 0

En ce qui concerne l'exercice 9 b),

Si tu prends plutôt A = E A' E
Tu sais, par un exercice d'algèbre (2.9) - http://www.icampus.ucl.ac.be/MAT1131/document/Syllabus/Syllabus.pdf (il suffit de faire une recherche pour trace )
que tr(A) = tr(E A' E ) = tr(A') et c'est gagné, non?

pour l'ex 14a), je me suis inspiré de la page 301 :

Dl(g( )) = Dl(exp[-i J3]
= exp[-i . Dl(J3)]
= exp[-i S3]

et l'on a :

Dl(g( )) = exp[-i ] . matrice contenant des exp de dim 2l+1

à la page 302, on dit que ce sont des représentations de SU(2) et So(3) pour l entier et de SU(2) pour l demi-entier...

à mon avis, c pas ça qu'il fallait faire...

quand au 14b), en tatonant, j'ai trouver un truc du genre de sophie en posant des 0 un peu partout parce que ça m'arrangeait...

à mon avis, je pense que tu as raison pour le 14 a)
Ceci dit, pour la matrice, c'est simple, tu calcules les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants que tu mets en matrice (dans le bon ordre, 1,0,-1) pour avoir U.

Je me demande si la matrice de S3 vers Jz ne serai pas
0 -i 0
i 0 0
0 0 1
je dit ça car pour les deux matrices il n'y a qu'une valeur par ligne et par colonne donc on sait déjà que le changement ne mélange pas les vecteurs de bases mais les échanges en les mutipliants. Et puisque
Jz = 0 -i 0 et S3= 1 0 0
i 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 -1
si f1,f2,f3 est une base de vecteurs propres de Jz et e1 e2 e3 une base de vecteurts propres de S3 alors
e1 -> i f2, e2 -> -i f1, e3 -> f3
Ce n'est pas très rigoureux mais bon, vous en pensez quoi?

Heu ben que c'est pas très rigoureux tiens
Surtout que ça prend 2 secondes pour trouver les vecteurs propres de la matrice de changement de base (vu que tu connais déjà les valeurs propres), donc je ne vois pas trop à quoi riment tes calculs

Philippe a écrit:

Je me demande si la matrice de S3 vers Jz ne serai pas
0 -i 0
i 0 0
0 0 1

heuuu tu la trouve au pif ta matrice qui soit dit en passant n'est pas du tout la même que la mienne ?

Moi j'ai obtenu la même matrice que Sophie et c'est la bonne. Il faut vérifier en fait que S3 = Udagger J3 U

Pour le 14a en fait j'ai oublié de dire qu'il faut exponentier les réponses de la page 298.

ok ben je vais revoir ça, merci.

pour l'ex 9a), c bien :

trace A + 1

car on trouve pour A quelconque : det (A + I) = det A + trace A + 1
si A ~ I, alors det A -> 0 et donc : det (A + I) ~ trace A + 1
ce qui est logique puisque si A = I, on a det (2.I) = 2

pq, pour l'ex 14b, on cherche S3 = U J3 U alors qu'on nous demande de calculer ce changement de base à partir de la représentation trouver en a (celle avec des exponentielles) ???

de plus je ne comrend pas cette histoire de vecteur propre de Libi ???

En fait je ne sais pas très fort non plus mais comme J3 et S3 sont symétriques, ils représentent la matrice d'une forme quadratique (je raisonne ici dans le cas réel mais on remplace t par dagger dans le cas complexe):

xixiBij= xt B x

donc sous changement de base on a xt' B x = xt At B A x = xt B' x

Donc B'= At B A, de la même manière que S3 = U J3 U