Chap 3, exercice 16

L'exercice est de dépontrer l'unique cycle limite quand --> 0 de l'équation de Van der Pol (f = - (1-x²))

En fait, il me semble avoir compris l'exercice jusqu'au calcul de dH

dH = x² (x²/3 - 1) dt
dH = x (x²/3 - 1) dy (j'espère que les signes sont corrects)

Mais je ne comprend pas bien quand on intègre dH sur le cycle limite ... Je pensais qu'on utilisait dH en fonction de dx quand la partie de cycle limite était de y constant et inversement. Mais je ne vois pas très bien pourquoi on se met en coordonnnées polaires dans l'exercice.

Et je n'ai pas très bien compris le but aussi : minimiser dH sur le cycle ?

en faite... tu sais que H est minimale sur le cycle limite...
donc... dh sur le cycle limite = 0

dès lors.... tu supose que ton cycle est circulaire... ce qui semble très naturel puisque H = (x²+y²)/2 (ca je vois pas très bien d'ou ca vien... donc si tu sais... éclaire moi )

alors l'idée est que tu passe en cood sphérique, et comme tu sais que le cycle est circulaire... la seul info qu'il te manque pour trouvé ton cycle... c'est son rayon...

donc tu calcul explicitement l'intégrale sur teta de dH
et tu sais que ca dois etre nulle... donc tu l'identifie a zéro...

ca te donne une condition unique sur r...

donc maintenant tu connais ton unique cicle limite, car c'est le cercle centré en 0 de rayon r.

voila... j'èspere que c'est claire...

bon travail

PS : t'as de la chance... je vien à l'instant de faire cet exercice :p

Ok, le raisonnement est clair (mis à part comme toi, qu'on suppose que le cycle est circulaire)

Mais mathématiquement, comment tu fais pour exprimer dH en fonction de d et tu arrives à quoi ?

(j'arrive pas à trouver à partir de ce que j'ai mis plus haut, même si c'est sûrement tout con ^^)

H = (x²+y²)/2
donc
dH = (dH/dx)(dx/ds)ds + (dH/dy)(dy/ds)ds
dH = (2xx'+2yy')/2 ds
dH = xx'+yy' ds

ici comme on travail en coord cylindrique ds = dteta

tu vois pourquoi H = x²+y²/2?

Excuse-moi, mais si ds = d:teta:, alors x' = dx/d:teta: = - r sin ^point
et y' = r cos ^point

Et donc si tu appliques dH = xx'+yy' ds, tu obtiens 0 à coup sûr !!!

Donc à mon avis, ce doit être autre chose qu'on a fait

Sinon, pour H, ben c'est p²/2 simplement.

oui jsuis d'accord avec toi que x dx/dteta + y dy/dteta = tjrs 0

donc on ne peut surement pas dire ds = dteta...

en tout cas... au cours on a bien dis : dH = (xx'+yy') ds
donc a mon avis... ds =dt
ce qui explique bien dH = xx'+yy'

et que dH = _[0,T] x(t)x'(t)+y(t)y'(t) dt = _[0,2Pi] x(teta)x'(teta)+y(teta)y'(teta) dteta

car on sait que c'est une trajectoire circulaire -> x(t=0) = x(teta=0)
et x(t=T)=x(teta=2Pi)

je ne sais pas si mathématiquement c'est tres rigoureux... mais moi ca me suffit largement...

PS : tjrs pour le H
on a bien H = (x'²+y'²)/2 et ds ce cas ci... comme ->0 x'²+y'² = x²+y²
on est d'accord?

pour ds = dt, alors 100% d'accord (c'est ce que j'avais écris dans mon premier message)

Citation :

je ne sais pas si mathématiquement c'est tres rigoureux... mais moi ca me suffit largement...

Mouais, ça suppose, en plus du fait que le cycle limite est à rayon constant, que l'angle parcouru est proportionnel à t...
Ca me laisse quand même un peu perplexe...

Citation :

PS : tjrs pour le H
on a bien H = (x'²+y'²)/2 et ds ce cas ci... comme ->0 x'²+y'² = x²+y²
on est d'accord?

En fait H, j'ai noté que c'était l'énergie du système conservatif, x' = y et y' = -x. Donc forcément ce que tu as dit est correct, mais je dirais également pour le cas où tu n'as pas --> 0. Mais bon, je ne suis pas sûre de moi à 100%