page 305 et 306

je me doute bien que le sujet a déjà été abordé avant mais je ne vois rien qui m'éclaire vraiment;

c'est quoi <l'1m'1| * <l'2m'2|) (T1*T2) (|l1m1> * |l2m2)

{<l'm' | + Dl |l''m''>}

et <|T1|> * <|T2|>

et d'ou ils viennet ces T????


je vous en prie ayez pitié de moi.......

Je te rassure, on a pitié ,
mais on a pas compris non plus

Alix et Marc

lol j'ai pitié si c'est ce que tu veux

En fait, <l'1m'1| * <l'2m'2|) (T1*T2) (|l1m1> * |l2m2) est plutôt un peu hors sujet si ça peut te rassurer, on ne l'utilise pas vraiment par la suite.
Le but est de te faire comprendre que les |l,m> sont les vecteurs de base de ton espace. Et comme les x , ils te permettent de faire des tenseurs. Les T T sont les composantes de tes tenseurs et le tout est l'expression de ton tenseur.

Si tu veux un ptit lien expliquant ces drôles de symboles, le voilà : http://encyclopedie.snyke.com/articles/notation_bra_ket.html

heu... pour moi <|T1|> x <|T2|>, c'est un element quelconque de l'espace Dl1 x Dl2

et c'est pour ca que <|T1|> x <|T2|> = U [ Di] U
<|T1|> x <|T2|> est [ Di] (dans une autres bases)

maintenant, ma comprehension de cette partie laisse a désiré

loic

loicus a écrit:

heu... pour moi <|T1|> x <|T2|>, c'est un element quelconque de l'espace Dl1 x Dl2

Oui, c'est correct. Par contre, pour la suite, je n'ai pas trop suivit ton explication

oui mais ce que je comprends pas c comment alix ou loic peuvent calculer des coefficient de cklebsh gordan sans meme comprendre comment on fait pour nous les introduire

alors je vais poser ma question autrement :

comment interprétez vous ces coefficient ? qu'est-ce que c'est?

j'ai l'impresson que j'y arriverai jamais.....

En fait, les coefficients, tu les calcules simplement avec les L , L+ et L_. Ces coefficients permettent de passer d'une base à une autre en gros : on passe de la base 1/2 x 1/2 à 1 + 0. C'est ce qu'on explique à la page 306, les 2 lignes d'équations...

Encore des questions ?

bon je vais retouner réfléchir à ca calmement...

merci bcp

jfcp a écrit:

oui mais ce que je comprends pas c comment alix ou loic peuvent calculer des coefficient de cklebsh gordan sans meme comprendre comment on fait pour nous les introduire

alors je vais poser ma question autrement :

comment interprétez vous ces coefficient ? qu'est-ce que c'est?

j'ai l'impresson que j'y arriverai jamais.....

bon alors
jt'explique coment moi je comprend ca

Dl x Dl' c'est un espace de dimension ll'
que l'ont peut réécrire de maniere diagonale avec CG car c'est aussi Di qui est aussi un espace de dim ll'(évidement)

on a deux espace de meme dimension... dans l'un, on a une matrice diagonale, dans l'autre non...! mais comme ce sont 2 espace de meme dimension... on sais qu'il existe un changement de base (matrice unitaire) qui nous fait passé de l'un a l'autre...

et donc, les coefficiants, ce sont juste les composante de notre matrice U de changement de base...!

PS : ce n'est absolument pas rigoureux, mais je pense qu'intuitivement ca permet de comprendre pas mal de chose non?
si c'est completement faut dites le moi toujours :p

lol ce n'est pas complètement faux, mais pas complètement correct à mon gout non plus.

loicus a écrit:

on a deux espace de meme dimension... dans l'un, on a une matrice diagonale, dans l'autre non...! mais comme ce sont 2 espace de meme dimension... on sais qu'il existe un changement de base (matrice unitaire) qui nous fait passé de l'un a l'autre...

La matrice d'aucun des deux espaces n'est diagonale, sauf si tu prend une matrice particulière. Les représentations Dl sont des représentations de rotations (SU(2) et/ou SO(3)) qui ne peuvent pas être écrites sur une diagonale... Ou alors, il faut que tu me montres comment tu arrives à écrire une rotation sous une matrice diagonale parce que ça me laisse perplexe.

Et puis pour moi, la matrice des coefficients de CG permettent de passer d'une base à l'autre, pas d'une représentation à l'autre (pas directement je veux dire, indirectement, ok). Donc si c'était tes bases que tu écris sous forme de matrices diagonales, j'ai pas compris non plus

bhen les Dl dans notre cas précis sont diagonale... étant donné qu'il sagit de l, l-1..... -l

oui, quand je disais représéntation, je ne parlais pas de la définition mathématique de réprésentation... (d'ailleur je vien de relire, je ne vois pas ou je l'ai dis...)

enfin bref...
comme je disais mon interprétation n'est aps corecte, mais je pense qu'intuitivement elle permet mieu de comprendre ce que l'ont fait!

Citation :

Dl x Dl' c'est un espace de dimension ll'
que l'ont peut réécrire de maniere diagonale avec CG car c'est aussi Di qui est aussi un espace de dim ll'(évidement)

on a deux espace de meme dimension... dans l'un, on a une matrice diagonale, dans l'autre non...! mais comme ce sont 2 espace de meme dimension... on sais qu'il existe un changement de base (matrice unitaire) qui nous fait passé de l'un a l'autre...

et donc, les coefficiants, ce sont juste les composante de notre matrice U de changement de base...!

PS : ce n'est absolument pas rigoureux, mais je pense qu'intuitivement ca permet de comprendre pas mal de chose non?
si c'est completement faut dites le moi toujours :p

une crise de nerfs plus tard...j'en suis arrivée au memeraisonnement (grace eux éclairsissement de sophie sur les chmts de bases ...encore merci)

sinon moi ca me dérange pas qu'elle soient diagonales ,parcequ'elle réprésente les générateurs infinitésimaux je pense....et pas directement les rotations...

ensuite j'ai eu un problème d'interprétation de sa matrice d'ordre 4 ...oui celle avec plein de séparations partou....j'ai fini par comprendre c'était quoi...

maintenant il me reste juste à voir pourquoi

|1,1>= |1/2,1/2> * |1/2,1/2>

et toutes celles du meme genre ....


en touts cas encore un GRAND merci

merci sophie surtout qui arrive a synthétiser les idées confusent de tout le monde :p (en rajoutant sa touche eprso biensure :p )

lol ben de rien...

Mais je persiste à dire que ce n'est pas correct.Si tes matrices sont diagonales, pourquoi faire un changement de base qui les met par blocs qui est est sensé simplifier plutôt que complexifier (ce qui est le cas si on considère une matrice diagonale) ?

Tu confonds, je pense, avec la matrice S3 qui représente un opérateur, comme on le montre en physique quantique. C'est par les propriétés de ces opérateurs, qu'on connait grâce aux générateurs infinitésimaux, que l'on veut trouver les représentations Dl (qui donc vérifient les S3 Dl = l S3 pour une certaine base des Dl et cette base est les flm ou um)

Rose-Marie, même si tu considère les générateurs infinitésimaux des Dl, tu n'auras jamais une matrice diagonale. Tu n'a qu'à regarder pour tous les exemples qu'on a fait au cours. Et c'est logique parce que comment tu veux faire tourner un vecteur si tu ne met pas des "sin " sur le coté ?

Une dernière petite remarque qui peut peut-être aider. Si on, veut, on a plusieurs sortes de rotations (représentées par les Dl) de plusieurs dimensions (l=1 --> dim 3; l=1/2 --> dim 2 ; etc). Je pense que la méthode de CG permet, au lieu d'avoir une composée de deux rotations de dimension quelconque (par exemple (2 l +1) ou (2 l + 1) ) sur un espace de dimension (2 l +1)* (2 l + 1), d'avoir 2 rotations (ou 3,...) dans les sous-espaces de dimension 2 l + 1.
On a bien sûr dans ce que je vient de dire Dl x Dl = + Dl
Cette dernière remarque n'engage que moi, ce n'est pas du cours, mais je pense qu'on peut voir les choses de cette manière.

Sophie a écrit:

Mais je persiste à dire que ce n'est pas correct. Si tes matrices sont diagonales, pourquoi faire un changement de base qui les met par blocs qui est est sensé simplifier plutôt que complexifier (ce qui est le cas si on considère une matrice diagonale) ?

bhen tu va m'expliqué le théoreme de CG, pcq je l'ai pas compris alors...!!! et je n'ai meme rien compris a tout ce qui suit...!

Sophie a écrit:

Si tes matrices sont diagonales, pourquoi faire un changement de base qui les met par blocs qui est est sensé simplifier plutôt que complexifier

Dl est diagonale, (dans ce cas précis...)
DlxDl' on ne sais pas ce que ca fait... (ici comme Dl est diagonale, ca donne kkchose de pas trop dégeu, mais bon...)
donc on aimerais le réecrire en matrice block diagonale (qui ici sont aussi diagonale...)

enfin... je m'eprime peut etre comme une merde aussi hein...

explique moi un peu a quoi tout ca sert pour toi... stp

jfcp a écrit:

maintenant il me reste juste à voir pourquoi

|1,1>= |1/2,1/2> * |1/2,1/2>

En fait, pour ce genre de choses, c'est tout con une fois qu'on a compris.

Tu dois te servir des opérateurs L3, L+ et L-, qui agissent comme les matrices S3, S+ et S-.

Tu sais que L3 |l,m> = m |l,m>
Applique ça à |1/2,1/2> x |1/2,1/2> :

L3 [|1/2,1/2> x |1/2,1/2> ] = (tu distribues)
= [ L3 |1/2,1/2> ] x |1/2,1/2> + |1/2,1/2> x [ L3 |1/2,1/2> ] = (tu appliques la formule)
= [ 1/2 |1/2,1/2> ] x |1/2,1/2> + |1/2,1/2> x [ 1/2 |1/2,1/2> ] = (tu fais sortir tes nombres et tu mets en évidence)
= ( 1/2 + 1/2 ) [ 1/2,1/2> x |1/2,1/2> ]
= 1 * [ 1/2,1/2> x |1/2,1/2> ]

Tu obtiens donc en résumé : L3 [|1/2,1/2> x |1/2,1/2> ]= 1 * [ 1/2,1/2> x |1/2,1/2> ]
Donc, si tu poses [ 1/2,1/2> x |1/2,1/2> ] = |l,m> quelque chose que tu ne connais pas, par l'application de L3, tu sais que m=1. Le seul choix possible est alors l = 1.

De la même façon, tu peux faire [ 1/2,-1/2> x |1/2,-1/2> ], tu verras que c'est |1,-1>.

Par le même procédé, tu peux calculer L- |1,1> = L- [ 1/2,1/2> x |1/2,1/2> ]
Les coefficients des L- sont donnés par les équations (2.6? je sais plus), c'est idem aux S-.
Et tu obtiendras les autres relations

merci sophie (on le dira jamais asssez je pense)

je vais regarder ce que tu as écit

sinon j'ai regardé la méthode de loic, ce me semblait assez élégente mais vu les réactions qu'elle a déclenchée (et que j'ai pas encore lue) je vais quand meme regarder ta méthode "rigoureuse"

je crois que je vais y arriver ( c chouette quand l'optimisme revient....)

youpi ca marche!

pour conclure:

a propos des harmoniques sphériques (j'était pas a ce cours la ) alix m'a dit qu'il s'était pas trop attardé sur le sujet...

quelqu'un peut-il confirmer?? que faut-il savoir ..as-ton droit à un formulaire comme en quantique?

Bon, je me suis un peu trompée dans le sens que les matrices S3 sont bien un élément (particulier) aux Dl (même si elles n'ont pas l'air de matrices de rotation). Et donc on peut la prendre en exemple, même si elle n'est pas vraiment simplifié par CG.
Le truc, c'est que je vois très bien comment S3 peut appartenir à SU(2) mais pas à SO(3) (c'est ce qui m'a induit en erreur parce que je m'étais posée la question et j'en avait conclu que S3 n'appartenait pas à SO(3))...
Quelqu'un a-t-il trouvé une paramétrisation de SO(3) qui permette de l'affirmer ?

PS pour Rose-Marie : il ne s'y est pas trop attardé, il a fait ça dans les grandes lignes et non on n'a pas de formulaire (je pense pas) mais il a dit qu'en cas de nécessité on aurait les tables de CG (suis plus sure à 100%).

heu... j'ai un peu du mal à vous suivre...

pour ma aprt, reprener moi si je me trompe... mais quand on regarde le grand tableau donner avec le paquet des ex de quantique, on voit des symétries apparaître !

si vous regarder bien, tout les blocs 2x2 obtenus sont du types :

a b
b -a

donc, pour calculer les 4 coefficients, suffit de trouver la première colonne ! (je supposer que cette symétrie est due au fait que
U . U = I... ? mais elle apparaît seulement pour les blocs 2x2)

De deux, je suppose que les |l,m> se comportent comme les um définis plus haut où les S3, S+ et S- deviennent L3, L+ et L-. C'est à dire :

L3 |l,m> = m |l,m>
L+|l,m> = racine[l.(l+1) - m.(m+1)]
L- |l,m> = racine[l.(l+1) - m.(m-1)]

d'autre part :

L3 |l1,m1> x |l2,m2> = ( L3(1) |l1,m1> ) x |l2,m2> +
|l1,m1> x ( L3(2) |l2,m2> )

(...) idem pour L+ et L- (...)

regardons mnt comment sont construient les blocs de la matrice U
(tjs en se basant sur le tableau du cours de phys quant.).

exemple avec D3/2 x D1 :



remarquez :

la matrice se décompose en 6 superbes blocs de 1x1, 2x2, 3x3, 3x3, 2x2, 1x1 dimensions

quand on regarde le dessus de chaque bloc, on voit que la même valeur de m apparait mais celle de l va de la plus petite la plus grande.

concretement, pour le bloc 3 par exemple (en partant du dessus vers le dessous) on a :

l : 5/2 3/2 1/2
m : 1/2 1/2 1/2

le but, une fois m fixé est d'aller de la plus grande valeur de l à la plus petite et on s'arrête lorsque l = m (ici 1/2)

regardons mnt le côté gauche de ce bloc :

on a à chaque fois que la somme des deux nombres (qui représentent m1 et m2) est égale à m ci dessus
pour le bloc trois on a :

3/2 - 1 = 1/2
1/2 + 0 = 1/2
-1/2+ 1 = 1/2

suite en cours d'écriture...

méthode :

1) on comme commence par placer un 1 tout en haut à gauche et tout en bas à droite

dès lors, on a :

|5/2,5/2> = |3/2,3/2> x |1,1>

c'est à dire :

|l,m> = |l1,m1> x |l2,m2>

2)

on calcul :

L-|5/2,5/2> = racine[5/2(5/2+1) - 5/2(5/2-1)] |5/2,3/2>
= A . |5/2,3/2>

puisque |5/2,5/2> = |3/2,3/2> x |1,1>

on peut écrire :

A . |5/2,3/2> = L-|5/2,5/2> = L-( |3/2,3/2> x |1,1> ) =

( L-|3/2,3/2> ) x |1,1> + |3/2,3/2> x (L-|1,1>) =

B . |3/2,1/2> x |1,1> + |3/2,3/2> x C . |1,0>

bref :

|5/2,3/2> explicitement : la première colonne de la matrice 2x2 du bloc 2
= (B/A) . |3/2,1/2> x |1,1> + (C/A) . |3/2,3/2> x |1,0> (B/C = 3/5 correspond donc à l'élément 21 de la matrice 2x2 et C/A = 2/5 à l'élément 11

ensuite, on utilise :

a b
b -a

comme dit précédemment...

pour le bloc 3 :

méthode identique en utilisant cette fois

|5/2,3/2> = 2/5 . |3/2,3/2> x |1,0> + 3/5 . |3/2,1/2> x |1,1>

et

|3/2,3/2> = 3/5 . |3/2,3/2> x |1,0> -2/5 . |3/2,1/2> x |1,1>

(donc utiliser L- sur le membre de gauche, puis de droite des deux égalité ci-dessus, dans le genre calcul long et pénible...)

3) méthode idem mais avec L+ sur |5/2,-5/2> = |3/2,-3/2> x |1,-1> (dernier bloc) pour trouver les coefficients du bloc 5 l'avant dernier en descendant)

voilà voilà

loicus a écrit:

Dl x Dl' c'est un espace de dimension ll'
que l'ont peut réécrire de maniere diagonale avec CG car c'est aussi Di qui est aussi un espace de dim ll'(évidement)

on a deux espace de meme dimension... dans l'un, on a une matrice diagonale, dans l'autre non...! mais comme ce sont 2 espace de meme dimension... on sais qu'il existe un changement de base (matrice unitaire) qui nous fait passé de l'un a l'autre...

et donc, les coefficiants, ce sont juste les composante de notre matrice U de changement de base...!

Waouw, dommage que je n'ai pas l'ADSL, comme ça j'aurais pu vous aider plus tôt.

Premièrement, je vais un peu corriger les affirmations de Loïcus:

Dl1 x Dl2 est un espace de dimension (2*l1+1)(2*l2+2) (et pas l1*l2)

A la page 305, la formule pour laquelle RM se posait des questions n'est rien d'autre que le produit scalaire de la réprésentation produit tensoriel T1 x T2 qui définit la matrice produit tensoriel T1 x T2 (comme on définit une matrice produit scalaire pour une métrique euclidienne).

Or il s'avère que la matrice représentation produit scalaire des + Dl est une matrice composée de blocs de réprésentations irréductibles Dl correspondant chacune à des valeurs l = l1 + l2 à |l1-l2| (et ce n'est pas forcément une matrice diagonale, pensez à S2 et S1 par exemple).

Comme les deux réprésentations sont équivalentes, il existe une matrice unitaire qui fait passer d'une représentation à l'autre.

Et comme le dit Loïcus, les coefficients de Clesbsh-Gordan sont les éléments de cette matrice avec la convention p306.

Fin de ma rectification.

merci libi, mais en attendant... je ne sais tjs pas calculer les coefficient de la troisième colonne du bloc 3 de la matrice que j'ai mise en image.

Je peux seulement faire varier les m dans les |l,m> et |l1,m1> x |l2,m2> avec ma méthode. Peut-on faire "varier" aussi les l sans passer par mon argument de bloc 2x2 symétrique pour calculer la troisième colonne de la matrice 3x3 du bloc 3 ???

merci d'avance si quelqu'un me répond !!!

lbsp a écrit:

Dl1 x Dl2 est un espace de dimension (2*l1+1)(2*l2+2) (et pas l1*l2)

Evidement, je voulais juste insisté sur le faite que dim Dl1xDl2 = dim Di

lbsp a écrit:

Or il s'avère que la matrice représentation produit scalaire des + Dl est une matrice composée de blocs de réprésentations irréductibles Dl correspondant chacune à des valeurs l = l1 + l2 à |l1-l2| (et ce n'est pas forcément une matrice diagonale, pensez à S2 et S1 par exemple).

pas forcément diagonale, sauf pour SO(3) et SU(2)
Dl est defini page 301 comme étant diagonale

PS : j'avais signalé, que ce n'était pas rigoureux, que c'était juste une manièere intuitive pour voir un peu plus de quoi il s'agit.

loic,

alexiel a écrit:

merci libi, mais en attendant... je ne sais tjs pas calculer les coefficient de la troisième colonne du bloc 3 de la matrice que j'ai mise en image.

Je peux seulement faire varier les m dans les |l,m> et |l1,m1> x |l2,m2> avec ma méthode. Peut-on faire "varier" aussi les l sans passer par mon argument de bloc 2x2 symétrique pour calculer la troisième colonne de la matrice 3x3 du bloc 3 ???

merci d'avance si quelqu'un me répond !!!

C'est toujours pas clair avec tout ce que j'ai écrit ici et sur https://physiqueucl.forumactif.com/viewtopic.forum?t=278 ?
T'as oublié la fin dans tes formules :

L3 |l,m> = m |l,m>
L+|l,m> = racine[l.(l+1) - m.(m+1)] |l,m+1>
L- |l,m> = racine[l.(l+1) - m.(m-1)] |l,m-1>

Tu les appliques en partant du haut et du bas de tes matrices.
Ta méthode me semble foireuse en ce sens qu'elle se base sur la forme de la matrice pour trouver la matrice Mais si elle marche, tant mieux pour toi, mais cela n'a pas l'air d'être le cas.

Sinon, c'est sûr que tu ne dois trouver que la première colonne quand c'est un bloc de 2 et vu que c'est une matrice orthogonale, il y aura un moins. Et qu'il soit au dessus ou en dessous n'est qu'une convention.