MA méthode pour calculer les coefficient de CG

voila, a la demande de gaetan j'explique ma méthode pour calculé les coefficient, qui ne marque que dans ce cas, ci... (je pense)

alors, on commence tt doucement
D1/2 x D1/2 est l'espace de dim 4 engendré par les 4 vecteur de bases :
|1/2,1/2>x|1/2,1/2> (m=1)
|1/2,-1/2>x|1/2,1/2> (m=0)
|1/2,1/2>x|-1/2,1/2> (m=0)
|1/2,-1/2>x|-1/2,1/2> (m=-1)

car m = m1+m2

par CG, on sais que D1/2 x D1/2 = D1 + D0
D1 + D0 est l'espace de dim 4 engendré par les 4 vecteurs de bases :
|1,1> (m=1)
|1,0> (m=0)
|0,0> (m=0)
|1,-1> (m=-1)

on cherche la matrice unitaire, qui fait passé d'une base a l'autre.
la fait quel soit unitaire nous donne la propriété que
la somme des carré des element des lignes = 1
la somme des carré des element des colones = 1

donc, on cherche une certaine combinaisons des vecteur de D1+D0
qui va nous donné les vecteur de base de D1/2xD1/2 (un chanchement de base quoi...)

|1/2,1/2>x|1/2,1/2> doit etre proportionel a |1,1>, car ils ont le meme m!
donc |1/2,1/2>x|1/2,1/2> = |1,1>
hors, comme la somme des elements au carré des lignes dois etre egale a 1, on a 1 dans le coin en haut a gauche!

IDEM pour l'autre coin...
|1/2,-1/2>x|1/2,-1/2> doit etre proportionel a |1,-1>, car ils ont le meme m!
donc |1/2,-1/2>x|1/2,-1/2> = |1,-1>
hors, comme la somme des elements au carré des lignes dois etre egale a 1, on a 1 dans le coin en haut a gauche!

Il nous reste donc, une sous matrice 2x2 a calculer,
notons ses element [a,b][c,d]
on a :
a²+b² = 1
c²+d² = 1
a²+c² = 1
b²+d² = 1

il y a trois solution :
a²=b²=c²=d² = 1/2
a²=d² = 1 et b² = c² = 0
c²=b² = 1 et a² = d² = 0

or,
|1/2,-1/2>x|1/2,1/2> = |1,0> + |0,0>
|1/2,1/2>x|1/2,-1/2> = |1,0> + |0,0>
car on sais qu'un element de m = x dans une base est proportionel au element m = x de l'autre base!

on sait donc, que les deux dernières solutions sont a rejeté...
des lors, on a a=b=c=d=+-1/2

et on choisis les signes par conventions, tous positif, sauf d...!

PS : cette méthode ne marche que dans ce cas tres particulier... (et encore... car on dois suposer , , , non nul )

j'espere quand meme vous avoir eclairé

loic

ben moi j'ai trouvé une autre methode ( le problème avec l'exemple du cours c'est que ya moyen de trouver plein de methodes qui marche ... mais que sur l'exemple...)

Citation :

D1/2 x D1/2 est l'espace de dim 4 engendré par les 4 vecteur de bases :
|1/2,1/2>x|1/2,1/2> (m=1)
|1/2,-1/2>x|1/2,1/2> (m=0)
|1/2,1/2>x|-1/2,1/2> (m=0)
|1/2,-1/2>x|-1/2,1/2> (m=-1)

car m = m1+m2

par CG, on sais que D1/2 x D1/2 = D1 + D0
D1 + D0 est l'espace de dim 4 engendré par les 4 vecteurs de bases :
|1,1> (m=1)
|1,0> (m=0)
|0,0> (m=0)
|1,-1> (m=-1)

jusque la je suis tout a fait d'accord
apres ca ce corse un peu

-- On trouve |1,1>=|1/2,1/2>x|1/2,1/2>
|1,0>=|1/2,-1/2>x|-1/2,1/2>

L_|1,1>=2:e1demi: |1,0>
=L_|1/2,1/2>x|1/2,1/2> = (1/2) |1/2,-1/2>x|1/2,1/2>+(1/2) |1/2,1/2>x|1/2,-1/2>

2:e1demi: |1,0>= (1/2) |1/2,-1/2>x|1/2,1/2>+(1/2) |1/2,1/2>x|1/2,-1/2>

donc on a deux coefficiant 1/2 et 1/2 ( on normalise et on a bien les (1/2) , (1/2)) pour les autres comme on veux un une matrice orthogonale c'est gagné : ya que ( -(1/2),(1/2)) ou ( (1/2),-(1/2))

voila, ya peut être moyen de faire comme ca pour aute chose que 1/2x1/2

Benjamin a écrit:

L_|1,1>=2:e1demi: |1,0>
=L_|1/2,1/2>x|1/2,1/2> = (1/2) |1/2,-1/2>x|1/2,1/2>+(1/2) |1/2,1/2>x|1/2,-1/2>

j'aime bien ta méthode

mais coment tu sais que L_|1,1>=2:e1demi: |1,0>?
je suis d'accord que L_|1,1> ~= |1,0>?
mais pourquoi 2 ?
j'imagince que c'est pcq S_ u(m) = (l(l+1)-m(m-1)) u(m-1)

peux tu confirmer?

A propos vous pouvez toujours vous entraîner en faisant l'ex 15 du chapiture des groupes.

De plus, il y a dans les feuilles de TP de quantique une table sur les Clebsch-Gordan coefficients pour les premiers combinaisons de l1 et l2. Comme ça vous avez en plus les réponses.

haaaa....
j'essayerais si j'ai le temp
(a mon avis, il demandera jamais ca a l'exam...!)

Citation :

j'imagince que c'est pcq S_ u(m) = (l(l+1)-m(m-1)) :e1demi:u(m-1)

oui c'est bien ca.

les exercices je les ait essayé un peu mais c'est pô focile
ta téussi Lebi?? ( la bête question )
si oui c'est comme ca qu'il faut faire?

je pense pas non plus qu'il nous embetera avec ca.

Benjamin a écrit:

-- On trouve |1,1>=|1/2,1/2>x|1/2,1/2>
|1,0>=|1/2,-1/2>x|-1/2,1/2>

L_|1,1>=2:e1demi: |1,0>
=L_|1/2,1/2>x|1/2,1/2> = (1/2) |1/2,-1/2>x|1/2,1/2>+(1/2) |1/2,1/2>x|1/2,-1/2>

2:e1demi: |1,0>= (1/2) |1/2,-1/2>x|1/2,1/2>+(1/2) |1/2,1/2>x|1/2,-1/2>

Je suis d'accord avec ton idée, c'est ce qui m'a fait comprendre merci beaucoup
Ce qu'il y a, c'est que tu ne l'appliques pas jusqu'au bout, tu fais ça un peu à la manière de Loïc
Comment peux-tu savoir que |1,0>=|1/2,-1/2>x|-1/2,1/2> ? On 'en sait rien !
En fait, pour moi le raisonnement complet (final) est plutôt :

|1,1>= |1/2,1/2> x |1/2,1/2>

L_ |1,1> = L_ [ |1/2,1/2>x|1/2,1/2> ] = [ L_|1/2,1/2> ] x |1/2,1/2> + |1/2,1/2> x [ L_|1/2,1/2> ]

Et là tu calcules tes L_ :
L_|1,1>=2:e1demi: * |1,0>
et
L_|1/2,1/2> = 1 * |1/2,-1/2>

Il ne reste qu'à remplacer et on trouve directement les bonnes valeurs
En tout cas un tout grand merci à vous deux

J'ai un peu lu en diagonale la méthode de Ben, et elle m'a l'air correcte.
Note qu'on peut aussi utiliser les L+ pour calculer les coefficients selon le contexte.

Bonne nouvelle, la méthode marche pour calculer les coefficients d'autres matrices, j'ai testé la matrice 1 x 1/2 = 3/2 + 1/2 Elle n'a pas résisté longtemps (même pas du tout je dirais) !
La méthode pour ne pas avoir à calculer les coefficients par la matrice que j'ai mis plus haut marche impecc