Nos amis les tenseurs !

quelqu'un a la soluce de l'ex 10b ???
et des autres aussi (de 4 à 10)

autre chose,... qu'est-ce qu'on entend par invariant par rapport au groupe de Lorentz (qui est différent de invariant sous le groupe de Lorentz) ?

Je n'ai fais que les exercices 4,5,8,9,10 mais je ne suis pas sûre pour la 4,5,8, je dois revoir ça.

Pour les exercices 9 et 10 j'ai la solution.

Mais avant de te répondre, je te donne ma convention de tenseurs sur le net:

exemple: gmunu(bb) et le tenseur métrique gmunu avec 2 indices en bas.
Frhosigma(hh) est le tenseur antisymétrique Frhosigma avec les 2 indices en haut.
/\nu..mu(hb) est la matrice de transformation contravariante (remarque les points ajoutés) avec mu en bas et nu en haut
/\nu..mu(bh) est la matrice de transformation covariante

Je crois que Sophie devra trouver quelques symboles pour les tenseurs car là pour moi c'est la seule manière de s'en sortir.

Pour l'exercice 10b (si tu as dit 10b alors je crois que tu as pu faire le 10a)
on calcule Thetamumu(hh) et on doit montrer qu'elle est nulle.

on a
Thetamumu(hh)=1/4pic*(Fmualpha(hh)*Falpha..mu(bh)+1/4*gmumu(hh)*F (bb)*F (hh))

comme gmumu(hh)=4 et par les propriétés de la métrique F ..mu(bh)= F rho(bb)*gghomu(hh)
on obtient alors

Thetamumu(hh)=1/4pic*(Fmualpha(hh)*F rho(bb)*gghomu(hh)
)+F (bb)*F (hh))

Par la propriété d'antisymétrie F rho(bb)=-Frho (bb)
et comme gghomu(hh) est non nul si et seulement si rho=mu alors

Thetamumu(hh)=1/4pic*(-Fmualpha(hh)*Frho (bb)*gghomu(hh)
)+F (bb)*F (hh))
=1/4pic*(-Fmualpha(hh)*Fmualpha: (bb)+F (bb)*F (hh))
=0

Donc la trace du tenseur est nulle.

Pour la 9 on a

Ftiltalphabeta(bb)Ftilt:alpha:(hh)= 1/4 :beta:munu(bbbb) :beta:rhosigma(hhhh)Fmunu(hh)Frhosigma(bb)

or :beta:munu(bbbb) :beta:rhosigma(hhhh)=-2* munu..rhosiqma(bbhh).
Si tu appliques la formule de l'exercice 8b et que tu distribues en utilisant l'antisymétrie du tenseur Fmunu tu auras la réponse demandée.
(Désolée de ne pas détailer les calculs ici mais je dois dormir, si c'est pas clair, tu peux toujours me redemander et je t'écrirai les détails).

Sur ce bonne nuit!

sincèrement, j'ai un peu de mal à te suivre sans les symboles agréer et je pense que d'autres aussi serait ravi d'avoir quelques solutions aux exercices de pthm. Mais c'est pas grave je veut bien essayer de retranscrire par écrit ce que tu as dit, le scanner et tenter de le mettre sur le forum. En espérant que ce soit plus lisible

pour l'ex 10b, tu me dit (j'espère avoir bien retranscrit) :

[img=http://i146.exs.cx/img146/1031/ex10b4wi.th.jpg]

perso, je comprend pas le :

gmumu(hh) = 4 (si il s'agit d'une sommation, j'aurrais dit : 1 -1-1-1 = -2)

Fmualpha(hh)*gmumu(bb)*-Fmualpha(bb) =
Fmualpha(hh)*-Fmualpha(bb)
(quand mumu=00 oui, mais quand mumu = 11,22,33,
gmumu(hh) =-1,-1,-1 non ? Voir ex 5c)

bref, dans mes propres conventions j'avais :
g00(bb) =1 ; g11(bb) = -1 ; g22(bb) =-1 ; g33(bb) =-1
g00(hh) =1 ; g11(hh) = -1 ; g22(hh) =-1 ; g33(hh) =-1
(je ne dit pas que c vrai, mais je pensais que c'était ça)

pour l'ex 9 j'ai carrément fait le calcul de tout les F :



le reste de l'ex en découle facilement

franchement, je crois que j'ai un gros prob avec les tenseurs !

Ah oui en fait je crois que tu as raison pour les gmumu(bb) ou (hh). A mon avis ma démonstration n'est pas correcte. Je vais voir demain plus en détail ce que j'ai fait.

[Suggestion]Peut-être ça serait bien d'ajouter plein plein de smileys avec au moins tous les symboles usuels et tout l'alphabet grec (fait sur un autre forum); y a peut-être moyen pour l'admin d'autoriser le html avec comme balises permises exposant et indice ?

Parce que les posts là en haut, sont très lisibles [/Suggestion]

Oui, c'est vrai que là, franchement, faut que je fasse qqch.
Je pense que je peux autoriser le html, mais je ne sais absolument pas comment ça marche donc j'ai rien compris à ce que tu m'as dit. Si tu penses pouvoir faire ça, je peux te donner accès si tu veux, envoie-moi 1 mp.
Mais je veux bien ajouter encore d'autres smiley, il n'y a pas de probs pour ça. C'est surtout les exposants ou indices, j'ai peur que ce ne soit pas lisible parce que trop petits.

Salut tout le monde!

A propos j'ai la solution de l'exercice 10b) du chapitre 3. L'autre est une grosse erreur de ma part, heureusement qu'alexiel me l'a fait remarquer.

En fait on doit calculer la trace tensorielle de theta (g :inu:theta )et non sa trace matricielle theta:emu .

Ce qui fait qu'on obtient:

g :inu:theta est proportionnel à

g F F + 1/4g :inu:g F F

= F:inu: F + F F

Et là c'est certain =4 et

F:inu: F = -F F
(utilisez la métrique pour descendre et monter les indices, s'il y a un problème je peux toujours écrire si vous me le demandez)

et donc le membre ci-dessus s'annule.

(Vraiment désolée de raccourcir les calculs mais malgré l'introduction des symboles de Sophie qui rendent plus conviviales les notations tensorielles, je prend un temps fou pour noter chaque formule).

ça a l'air vrai mais il y a des signes qui se marquent encore comme emu ou imu ce qui rend la lecture difficile. Bref, si ça ne te dérange pas, est-ce que je pourrais emprunté ta feuille sur laquelle tu as écris la solution pour pouvoir la recopier (ou m^ la scanner pour que ceux qui ont également tenté de faire l'ex comme moi trouve où est leur erreur).

D'autre part, je comprend que l'assistant n'aime pas donné des résolutions toutes faites mais personnellement, j'ai passé deux jours entiers de mes vacances sur les tenseurs sans savoir si ce que je faisait avait l'air bon ou pas et je me sens assez frustré de travailler en aveugle.
Bref, NON JE N'ATTEND PAS BETEMENT LES REPONSES ! Mais j'aimerais vraiment qu'on me réoriente quand je suis paumé.

Personellement, j'ai aussi passé bcp de temps à refaire tous les exercices même si on a pas les réponses... et même si j'arrive pas au bout de tous.
J'irai voir l'assistant à la rentrée, on verra bien ce qu'il dira, si il veut bien me les corriger ou répondre à mes questions
Parce que je trouve que c'est un peu bête de pas avoir de correction...

Voici la réponse aux 5 et à une partie d'une autre question (je ne sais plus laquelle ). Je suis quasi certain que c'est ça (du moins ça concorde très bien avec ce qui dit le syllabus sur le sujet et ça me semble logique).

Ps: désolé de la longueur de la réponse!

http://img179.exs.cx/img179/3730/scan00013iz.jpg

http://img179.exs.cx/img179/1597/scan00029qo.jpg

http://img179.exs.cx/img179/1883/scan00032tv.jpg

http://img179.exs.cx/img179/6760/scan00048ym.jpg

http://img179.exs.cx/img179/1795/scan00052op.jpg

Christophe, je n'arrive pas à obtenir les images de tes réponses, il y a un problème de lien ou bien je suis encore bête.

En fait, je joins ici mes réponses des exercices 9 et 10.



J'espère que mes notes soient assez lisibles comme ça. Et je pense clairement que cela prend moins de temps que de tout écrire en notes tensorielles.

lbsp a écrit:

En fait, je joins ici mes réponses des exercices 9 et 10.



J'espère que mes notes soient assez lisibles comme ça. Et je pense clairement que cela prend moins de temps que de tout écrire en notes tensorielles.

salut !

Ca me semble correct, la trace d'un tenseur se calcule comme la somme des éléments diagonaux cova-contra. La somme des éléments cova-cova ou contra-contra n'est pas invariante et donc ne peut pas être nulle dans tout référentiel ! (cf ex 2)

Mais j'ai une question : qu'entends-tu par

Citation :

Et je pense clairement que cela prend moins de temps que de tout écrire en notes tensorielles.

@+ sand

En fait notre administrateur nous a fourni quelques petites symboles qui nous permettent d'écrire en ligne les composantes tensorielles:

ex: g g

Si je dois écrire quelques lignes comme ça, cela me prendrait un petit peu de temps.

Au fait à propos, est-ce quelqu'un a pu prouver pourquoi d4x est invariant (ex 7a Ch3)). Il faut en fait montrer que d4x'=(dét /\ )d4x, je ne vois pas vraiment comment.

Et aussi l'exercice 11 Ch3: je ne vois pas ce que fait la métrique dans tout ce bazar.

lbsp a écrit:

Et aussi l'exercice 11 Ch3: je ne vois pas ce que fait la métrique dans tout ce bazar.

Ca n'a pas de sens de parler de tenseurs symétriques ou antisymétriques mixtes (cova-contra)! On a besoin de la métrique pour obtenir le tenseur S:ei: ou S:ik:. Mais attention, la trace se définit comme la somme des composantes diagonales du tenseur mixte : S = S:ei:

on a donc que

S_{(ij)} = (S_{ij}+S_{ji}) /2 (sym)
S_{[ij]} = (S_{ij}-S_{ji}) /2 (anti-sym)

et que

S'_{(ij)} = S_{(ij)} - 1/3 S g_{ij} (sym - trace nulle)

ou S = S_i^j (trace du tenseur)

Le facteur 1/3 est du au fait que la trace de g est 3 (nombre de dim de l'espace).

sand

lbsp a écrit:

Au fait à propos, est-ce quelqu'un a pu prouver pourquoi d4x est invariant (ex 7a Ch3)). Il faut en fait montrer que d4x'=(dét /\ )d4x, je ne vois pas vraiment comment.

Faut aller voir ton cours d'analyse mais en gros à 3 dim, un élément de volume est donné par

( dx x dy ) . dz = _{ijk} (dx)_i (dy)_j (dz)_k

où dx, dy et dz sont des vecteurs déplacements dans la direction x y ou z.
(dx x dy ) donne la surface de la base et le produit scalaire avec dz donne la hauteur perpendiculaire à la base.
Lors d'un changement de base, chaque vect de déplacement amène une matrice de transformation et la présence du fait que l'expression finale est en fait le déterminant de la matrice de transformation.

Donc lorsque l'on écrit d^3x = dx dy dz ceci n'est vrait que dans une base orthonormale. En fait c'est d^3x = |(dx x dy) . dz|. La valeur absolue n'est pas nécessaire si la base est droite cad ei x ej = _{ijk} ek

La généralisation à 4 dim se fait naturellement avec le qui est le seul tenseur complètement antisymétrique.

Citation :

Christophe, je n'arrive pas à obtenir les images de tes réponses, il y a un problème de lien ou bien je suis encore bête.

Non tu n'est pas bête , il y a avait effectivement un problème de lien, mais ce doit être corrigé maintenant. Désolé!

Petit détail Christophe,
les solutions que tu as mis sur le forum concerne l'exercice 10 mais pas le 5, exercice que j'ai déjà résolu et affiché sur le forum.
Dommage, moi qui croyait que tu as démontré pourquoi, est le seul objet totalement antisymétrique.

Et aussi un tout grand merci pour l'aide de sand pour les exercice 7a) et 11.