un probleme... matrice de rotation

j'ai un spineur qui pointe ds la direction y

= |+>y
ds la direction x ca me fait donc
= 1/2 [(1+i) |+>x + (1-i)|->x]

ca c'est facile... mais je peux aussi trouver cela en faisant une rotation de 90° autour de oz normalement...
x = exp(-i /2 * z) y= [1 cos /2 - i z sin /2] y

hors z est diagonal, tout comme 1, donc ce qui ets mis entre crochet est une matrice diagonal... donc, comme y = (1,0)
j'ai d'office x = (A,0)
avec A = cos -i sin

ce qui n'est pas la meme chose que ma 1ere réponse.... ou est la faute...?
je sais que y a une faute dans la 2eme méthode, mais je ne la vois pas...

merci d'avance

je vois pas ta faute....

mais ce qui est tout aussi bizarre c que si tu fait deux rotations de suite ( une pour amener y sur z puis une pour amener z sur x...) pour ne plus avoir de matrice diagonale, ca marche très bien....je trouve pas que ce soit très normal....

on serait obligé de repasser par l'axe z à chaue fois???je crois quand meme pas....

ouais j'avais remarqué cela aussi...
c'ets quand meme trop byzare

Il me semble, si je me rappel bien, que l'idée des rotation c'est de choisir l'orientation de l'espace (ie des axes -> rotation passive) de manière à pouvoir passer d'un opérateur à un autre. Dans ce cas il s'agit d'utiliser x alors que la projection du spineur vaut 1/2 le long de l'axe y. Or faire une rotation de manière à amener l'axe des x sur l'axe des y nous permet d'utiliser x directement sur notre nouveau spineur, mais la forme de x implique qu'il ne suffit pas de voir les composante de notre spineur pour connaitre les probabilité ie la forme de ton spineur est correcte mais dans la base |+>x |->x ses composantes valent bien (cosa-isina)/2|+>x+(cosa-isina)/2|->x (il suffit de décomposer le spineur dans la base des vecteurs propre de x). Donc si l'on veut obtenir un spineur tel qu'il suffise de regarder ses composante pour connaitre les différentes probabbilité il suffit d'éffectuer l'opération z->x de manière a obtenir un second spineur dont les valeurs propres correspondent maintenant à ses composantes (car les matrice de Pauli sont construite de telle façon que z=[1,0],[0-1])
Et on trouve bien 1/2 1/2. Et si on a un spin dans la direction n il faut effectée des rotations de manière à aligner z avec n pour n'avoir qu'à lire les composantes du nouveau spineur pour connaitre les probabilitée.
Il serait bon d'attendre une confirmation de Michel mais je pense que c'est l'idée. En tout cas ça fonctionne...(évidemment le fait de penser en rotation de l'espace (rotation passive) et non du spineur implique de faire attention aux signes des angles de rotation...)

je comprend pas tout...

je ne vois pas pourquoi je ne pourais pas faire une rotation de mon spineur sur x, afin de connaitre directement ses composantes selon l'axe x...

Ta faute c'est que tu es dans la base où sigma_Y est diagonal, pas sigma_Z! Tu as écrit que |+>Y=(1 0) ce qui n'est pas vrai dans la représentation "usuelle" des matrices sigma où c'est |+>Z qui vaut (1 0). Si tu veux travailler dans cette nouvelle base, tu dois utiliser la représentation de sigma_Z pour sigma_Y, sigma_Y pour sigma_X et sigma_X pour sigma_Z ce qui, je pense, devrait te donner le bon résultat, à vérifier...

Pour le dire autrement, une rotation autour d'un axe qcq d'un spin up sur cet axe ne doit pas modifier le spineur (ca semble logique non ?). Donc si tu choisis la rep (1 0) pour ce spineur, c'est l'opérateur de spin le long de cet axe qui doit être diagonal. Donc sigma_Y doit etre diagonal dans tes conventions.

Voilà j'espère que ca éclaircit un peu la question...

Courage!

PS: j'ai pas eu le courage de lire ta réponse, Philippe, donc si c'est ce que tu as voulu dire sorry

nikel, c'est clair...

Salut, Michel, en fait celà m'arrangerai bien que tu jettes un oeil sur mon dernier post histoire d'être sur que j'ai pigé le truc... Ou du moins confirmer que si j'ai un spin le long de l'axe n que je veux connaitre les probabilitées qu'il soit up ou down le long de y, il faut
1. appliquer les rotations de l'espace qui amene y sur n
2. appliquer la rotation de lespace qui amene z sur y
de manière à ce que maintenant les composantes de mon nouveau spineur soit les amplitutes de probabilité que l'on cherche.
( donc savoir si ces opérations me pemette de passer à x diagonale le long de n?) merci d'avance

y diagonale le long de n pardon...

moi j'ai un petit problème....

Dans un exam de Weyers, il demande de trouver dans quel direction pointe un spin si le spineur est
( i/2 ; (3 ) /2. on a fait ça dans le cour, je crois, mais je pige plus ce qu'il fait...

il pose .n en général, et dit qu'il faut résoudre l'équation:

n(spineur) =(spineur)

Pourquoi??
comment on fait?

calcule P directement, c'est plus simple...
j'ai fait l'autre manière j'obtiens bien la mem chose. comme tu dis tu résous le système que tu as, tu as deux equations avec n1, n2, n3 comme inconnues, ce qui semble impossible MAIS tu dois avoir n1, n2, n3 réels, ce qui impose direct que n1 vaut 0...
enfin si j'ai juste.

oui oui c'est bien ca...

mais d'office en general j'utilise la matrice densité

mais je trouvais ca byzare le truc des rotation, mais j'ai bien capté now

ooooki ^^

Je crois que je commence à voir...

Merci bôôku ^^

moi j'embrouille avec ces rotations...
on peut faire un résumé de ce qui a été dit plus haut?

bon moi ce que je pense capter:
- si on veut obtenir les composantes (dans la base {|+>z, |->z}) d'un spineurs |+>n dans la direction n, on applique à |+>z (donc au spineur (1,0)) la rotation qui amène z sur n. Si c'était |->n qu'on cherche, on applique la rotation à |->z.

- si on a un spineur dans une certaine direction n et qu'on souhaite connaitre la proba de mesures de Sx par exemple,
-- soit on exprime la base {|+>z, |->z} par rapport à {|+>x, |->x},
-- soit avec les rotations, et là on fait comment ?
on amène le spineur sur z puis sur x ?? mais pour moi amener tout spineur (exprimé dans la base {|+>z, |->z}) sur z donne toujour (1 0) donc à quoi elle sert la première rotation ? bref là c flou...

tu peux amener faire une rotation qui amene n sur x

mais tes sont telque x est diagonale...

donc en gros
z -> x
x -> y
y -> z

mais sinon c'est kiff... ce qui fait que tu n'aura jms une matrice diagonale (qui était l'origine du post...)

PS : c'est en tout cas ce que j'ai compris

Que pensez vous de ça:
si ona un spin dans la direction |+>n et que l'on veut connaitre les probabilités up et down suivant x. On veut donc pouvoir appliquer à ce spineur l'opérateur x. Mais pour que ce soit efficace (ie que le spineur soit une composition des vecterus proprede x) il faut d'abord changer de base, c-a-d passer de la base {|+>n,|->n} à la base {|+>x,|->x}. Ceci ce fait par la ou les rotation(s) U telle que
{|+>n,|->n}=U{|+>x,|->x}, qui est la rotation qui amène n sur x (n->x, je crois). On peut alors le décomposer dans la base de x et obtenir notre réponse. Ou alors, si on souhaite on peut toujours faire un changement de base tel qu'au lieu d'utiliser x qui n'est pas diagonal on uitile z qui elle est diagonale. Ce changement est la rotation qui amène x->z telle que x-> z. Et il ne reste plus qu'à lire les composante du nouveau spineur pour connaitre les probabilité car z est diagonale.
Résumé : rotations telle que n->x(->z, facultative, mais bien pratique !)Donc, Loïcus je reviens sur le sens de mes rotation, je pense que tu as raison !

oui, c'est la seule solution plausible que je vois...
mais 'jai pas encore fait le test...

mais sinon la méthode infaïble, c'est vraiment décomposé |+ou->z en |+ou->x

perso je pense que je ferais comme ca a l'examen, c'ets un peu moin beau... mais tes sure de ton coup

loicus a écrit:

donc en gros
z -> x
x -> y
y -> z

en fait je pense pluto que c'est
z -> x
x -> z
y -> y

pour etre plus précis,

j'ai diagonalisé x exprimé au départ dans la base {|+>z, |->z}, d'où on déduit la matrice U qui fait le changemnet de base, et je trouve:

- U ( z) U = z dans la base {|+>x, |->x} = x dans la base {|+>z, |->z}

- U ( x) U = x dans la base {|+>x, |->x} = z dans la base {|+>z, |->z} (forcément U diagonalise x)

- U ( y) U = y dans la base {|+>x, |->x} = transposée ou compl conj* de ( y ) dans la base {|+>z, |->z}

si c'est ça alors fo faire gaffe et pas faire direct une permutation cyclique vite fait...

je sais que ça n'a plus bcp de rapport avec la question du début du post (ou vaguement), mais c pour vérifier si j'me suis pas royalement planté ds le shmilblik...

*edit merci loicus

moi j'ai fait une permutation cyclique, et a mon avis ca marche

note aussi que y est hermitien...
car ( et 1 )c'est la base des matrices hermitienne 2x2
donc y = y

loicus a écrit:

note aussi que y est hermitien...
car ( et 1 )c'est la base des matrices hermitienne 2x2
donc y = y

zut c'est vrai ça..
j'ai été un peu vite, mais pour y, j'obtiens [0 i ; -i 0], j'aurais la transposée au lieu du dagger. bizarre tout ça. quelqu'un y voit plus clair?

Moi j'ai une autre question qui me turlupine :
Quand Weyers nous demande comment se transforme un spineur sous rotation autour de OX, c'est bien beau mais c'est une rotation dans quel sens ?

La question ne se pose pas si on fait la rotation directement dans l'espace des spinneurs. Mais si on effectue la rotation sur le vecteur de polarisation, quel sens de rotation doit-on prendre ?

Quelqu'un a une idée ?

moi je ferais toujours la rotation avec la règle du tire bouchon (pour droitier je précise...)(pour rester dextrogyre ou ché pa koi). ça dépend comment on définit l'angle par rapport aux axes du repère, mais je pense que c'est fait de la même manière (dans le repère carthesiens).

J'ai peut etre mal compris, mais sous rotation, une rotation de U ou -U (dans l'espace a 3D) donne la meme chose pour un spineur

pour connaitre l'angle c'est facile....

il suffit de faire un produit scalaire...

de plus le spineur est définni au signe pres... (et en quantique tt est définni a une phase pres)
donc en gros tu t'en fout...

pcq la seule chose qui a de l'importance c'est P... | |² et ca marche du coup tjrs...

Ok merci à tous. En fait, il faut faire la rotation dans le sens direct (tire-bouchon) et c'est alors que les 2 rotations (la spatiale et celle dans l'espace des spineurs) ont le même effet.
Par contre pour répondre à dzsaber, si tu tournes de - ou + dans l'espace à 3D, ça n'a ps le même effet...essaie !