labo théo p31-32

je comprend pas vraiment ce que l'auteur tente de nous expliquer en ce qui concerne la recherche des modes normaux pour la matrice de P2 ?

moi, je dois partir pour tout le week-end, alors si quelqu'un pouvait juste me donnezr un petit coup de pouce, ce serait très sympa. Merci !

et aussi, philippe ou quelqu'un d'autre : il dit quoi en clair le théorême 1.6 ?

bon week-end à tous, salut !

Salut Alix,
bein voilà je viens de regarder cette partie du livre et voici ce que je pense (mais c'est à prendre avec des pincettes):
Les modes normaux Pi (des vecteurs) sont des vecteurs propres d'une certaine matrice B symétrique (la hessienne du potentiel évaluée en un équilibre cfr. méca. ana. II).
Et les matrices D6 étant des symétries laissent invariants les Pi, un petit calcul montre alors que [D6(g),B]=0. Et donc en vertu du thm 1.6 les vecteurs de base des rep. irr. sont des vecteurs propre de B, les modes normaux (ou du moins si tu pars de rep irr pour trouver les bases ce sont des compositions des Pi). Donc au moyen des projecteurs tu trouve les vecteurs de bases des Da:
P=sum(i)|i><i| (1).
Pas de problème pour les espace de dim 1 car P0=|0><0| et P1=|1><1|
Le problème du P2 c'est que ce sous espace est de dimension 4. Donc il y a 4 modes normaux différents. Mais tu en connais déjà deux la translation dans les x et la translation dans les y Tx et Ty donc en vertu de (1) tu trouve que le projecteur sur l'espace de dimension deux dont tu ne connais pas encore les modes normaux est
P2-Tx-Ty=P
Appliquer P à un vecteur |v> de ton espace à 6 dimension donne sa décomposition en mode propre de P :
P|v>=|1><1|v>+|2><2|v> donc celà donne un mode propre et si tu effectue une rotation celà te donne un second mode propre linéairement indépendant du premier (je t'avoue que je ne comprend pas vraiment cette rotation) donc une base de ce sous espace.
Pour ce qui concerne le thm 1.6 j'ai recopier au propre (et en LaTeX si vous plé bieing) ce que j'ai expliquer vite vite au tableau. Je peux te la filée demain si tu veux...

J'ai dit qu'il fallait prendre ceci avec des pincettes car je ne sais pas si c'est correct de jouer avec la matrice B, je pense que l'idée est là mais on vera ce qu'en pense M. Ruelle.
Voilà , j'espère que c'est plus ou moins correct et que ça t'aidera a dem
Ps; ca à l'air horrible la partie de Lbs...

Philippe a écrit:

Salut Alix,
bein voilà je viens de regarder cette partie du livre et voici ce que je pense (mais c'est à prendre avec des pincettes):
Les modes normaux Pi (des vecteurs) sont des vecteurs propres d'une certaine matrice B symétrique (la hessienne du potentiel évaluée en un équilibre cfr. méca. ana. II).
Et les matrices D6 étant des symétries laissent invariants les Pi, un petit calcul montre alors que [D6(g),B]=0. Et donc en vertu du thm 1.6 les vecteurs de base des rep. irr. sont des vecteurs propre de B, les modes normaux (ou du moins si tu pars de rep irr pour trouver les bases ce sont des compositions des Pi). Donc au moyen des projecteurs tu trouve les vecteurs de bases des Da:
P=sum(i)|i><i| (1).
Pas de problème pour les espace de dim 1 car P0=|0><0| et P1=|1><1|

Jusque là, d'accord, c'est exactement ce que je pensais déjà la semaine passée... juste une chose :

l'année passée, on supposait que A (matrice liée à l'énergie cinétique du système) était égale à la matrice unité I. Je subodore que c'est vrai aussi dans le cas qu'on traite...

Philippe a écrit:

Le problème du P2 c'est que ce sous espace est de dimension 4. Donc il y a 4 modes normaux différents.

là, on aurrait put écrire :

P2 = i |ei > <ei| i=1,2

c'est la définition des projecteurs !

Mais, manque de bol, D2 se retrouve 2 fois dans la décomposition de D6. Donc, le thm 1.6 partie II pas valable. Bref caca...

Cependant, "Hourra !", on en connait déjà deux des 4 à trouver : les translations dans la direction x et dans la direction y.

Qui sont les deux autres, point d'interrogation
Hé bien soit, pas de problème, modifions P2 de manière à ce que les translations n'apparaissent plus...

pom pom pom... voilà c fait. Reste un machin, point d'exclamation
et ce machin cache en son sein les derniers modes de vibration à trouver

après, hem... zut je suis re-bloqué, point dans la gueule à l'auteur !...

Je dirais plutôt que
P2= :gsom:i |ei><ei|, i=1,2,3,4. Comme tu le dit on ne peut pas s'aider de la partie 2 de 1.6 car la D2 est de multiplicité deux. Mais en admettant qu'elle soit de multiplicité 1 tu ne pourrais que conclure, sur base de th 1.6, que les quatres vecteurs de base de l'espaces associé à D2 sont des modes normaux(de même valeur propre). Mais ca ne te dit rien sur la tête qu'ils ont. Une fois que tu a réduit ton problème à P=P2-Tx-Ty, et que tu te donne deux vecteurs |v> et |w> lin. ind. tq P|v> et P|w> sont deux objets lin. ind. de l'espace associé à P alors tu as une bsae de cet espace, tu a deux modes. Mais qui ne sont pas normaux a priori : ce pourrais être des combilis des deux modes propres associé à P puisque le th 1.6 1te dit que tu peux trouver une base de mode normaux). MAis tu pourras pas les trouver si tu ne dispose pas de plus d'info...
Il faut faire la différence entre mode normaux et mode. Qu'en penses-tu?