Exercice 6 - p 158 du syllabus

C'est l'exercice où on a les deux matrices A et B à diagonaliser simultanément.
On obtient une matrice P = ( 1 1 ; 2:e1demi: -2:e1demi: )
Pour diagonaliser les deux matrices, il suffit de faire P^t A P et on obtient la matrice diagonale.

Seulement voilà, au départ, normalement la formule est P:e-1: A P.
Dans notre cas, on n'a pas P:e-1: = P^t.
Normalement, ce devrait être le cas puisque les vecteurs propres sont sensés être une base orthonormée...

Donc pourquoi n'a-t-on pas une matrice P orthogonale ? Pourquoi doit-on faire P^t et non pas P:e-1: ?

tu as bien normée tes vecteurs propres?

heu oui mais ça ne change rien au fait qu'ils soient perpendiculaires ou pas...

bah, c'est pas grave du moment que c'edt diagonale à la fin c'est que le changement de base (la matrice était bonne).

Peut être que c'est un truc plus profond (encore) que le théorème spectrale

heu....
si t'es vecteur propre sont par orthogonal entre eux, c'est que tu t'es planté quelque part

jte renvoye au thm spectrale pour plus de detail :p
(les vecteurs propres sont forcément orthogonaux!!!!)

sophie veut dire que tu n'es pas obligé de normer tes vecteurs propres pour qu'ils soient orthogonaus (pas orthonormé).

loicus a écrit:

si t'es vecteur propre sont par orthogonal entre eux, c'est que tu t'es planté quelque part

Heu justement, c'est pour ça que je pose la question
On l'a fait au cours et donc je pense que tout le monde a la même chose (et j'ai refais 3 fois mon calcul, il est correct)...
Je me dis que ptêt que c'est parce qu'on diagonalise deux matrices à la fois que ça ne donne pas des vecteurs orthonormés...
Je ne sais pas, je ne comprend pas trop pourquoi ça ne marche pas.

Sinon oui, Benjamin, c'est ce que je voulais dire

oui, mais pour que P^-1 = Pt
il faut absolument que les vecteurs soit orthonormé (et pas seulement orthonormaux)

maintenant, j'imagine bien que ce n'est aps ca qui va résoudre le probleme mais je le signale quand meme

lol oui je savais ça aussi mais non ça ne résoud pas le problème
T'inquiète pas, j'ai même ouvert le cours d'algèbre avant de poser ma question mais j'ai rien trouvé qui puisse m'aider

je vien de trouver la réponse a ta question

en faite, d'habitude on fait det(I - A) = 0
et les vecteur propres sont orthogonaux entre eux, avec la métrique I

ici, on fait det(B - A)
et les vecteur propres sont orthogonaux entre eux avec la métrique B

voila

Ahhh
Ca m'a l'air pas une mauvaise idée
sauf qu'habituellement, on fait det(A- I) où I est la métrique...
Donc ce serai ptêt plutôt det(B- A) où A est la métrique.
Mais c'est vraiment bien pensé

lol...

oui, de faite

pour quand meme me trouver une excuse, je venais de me lever
lol
j'ai essayé, ca marche nikel... avec B comme metric!
faudrait essayé avec A pour voir (pt'etre que ca revient au meme)

EDIT :

ca marche nikel avec A, voila un probleme de résolu

C'est quoi ca votre truc de métrique?

bhen étant donné la maniere byzare dont on diagonalise A et B en meme temp,

et étant donné la ressemblence frapante ente
(A- I) (la metric est I)
(B - A) (la métric est A, pourquoi pas)

des lors dans le 1er cas, on a
P1t P2 = 0 = P1t I P2

dans le 2eme cas
P1t A P2 = 0

et de faite, ca marche

donc P1 et P2 reste orthogonaux dans tout les cas

J'ai rien compris à vos questions, est-ce que quelqu'un pourrait résumer tout ce topo?