Ex 44 p12 du syllabus de TP

Au point (b) pour N=n1 + n2 =1, on a trouvé en séance qu'un état propre commun à et L était :

= r/a² . exp(-r²/2a²) . ( u1(phi) + u-1(phi) )

Ici, la v.p de est 2

mais celle de L, est-elle bien de 0 ??. Si oui, elle l'est dans tout les états propres communs suivants...je trouvais ça étrange. Je me demandais si j'avais pas loupé un truc !

Merci pour les réponses

les vercteurs propres de L à 2 dimensions c'est exp[im:chi:] et u1= exp[i:chi:] et u(-1)=exp[-i ] donc les deux valeurs propres sont +et -

Oui d'accord mais L ( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = - =0

Non...???

L ( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = exp(i phi)- exp(-i phi)

Ah oui, là je suis un professionnel.
Merci benja...

Oui mais alors ( exp(i phi) + exp (-i phi) ) n'est pas état propre de L ??

bin oui c'est deux états propres (foctions fropres vecteurs propres) de L
par linéarité la somme des deux est aussi un vecteur de L

Ben non, regarde :

L( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = exp(i phi) - exp(-i phi)

et ca c'est différent de (exp(i phi) + exp(-i phi) ...

oui d'accord mais tu veux savoir ca pourquoi?

Parce qu'on affirme avoir trouvé un état propre commun à H et L or ce n'est pas le cas...???????

c'est pas ca alorss qu'il faut dire, il faut dire que u1 et u-1 forme une base commune à H et L pour N=1.

Ouais ben c la que je décroche en fait. Si u1 et u-1 forment une base communes de vecteurs propres de H et L, alors u1 + u-1 devrait aussi etre vecteur propre de L or ce n'est pas le cas...?

je pense pas alors que, parce que on a une base de vecteur propre alors on peut dire ca, en tout cas dans le cours on a jamais utilisé d'argument pareil et ca ne change rien à tout ce que l'on a "construit" en MQ

ce qu'il faut dire, je pense, c'est que si une particule est dans l'état
c1 . u1 (phi) + c-1 . u-1(phi), alors, les vp sont avec proba |c1|² et - avec proba |c-1|²...tu crois pas

100% d'accord

Yeh baby...!!
Moi je dis, toi et moi, on finira toujours par s'entendre...

Gaëtan a écrit:

Ouais ben c la que je décroche en fait. Si u1 et u-1 forment une base communes de vecteurs propres de H et L, alors u1 + u-1 devrait aussi etre vecteur propre de L or ce n'est pas le cas...?

pour moi si u1 et u2 est une base des vecteur propres de L et H
alors Lu1 = u1
et Hu1 = E u1

Message de Gaëtan, reçu ce samedi :

"Je me suis également posé une question au sujet de l'exercice 44 page 12 du syllabus de TP. Au point (b), on doit trouver une base d'états
propres simultanés de H et de L. Cela veut-il dire que la base que l'on a trouvée engendre un espace propre commun à H et à L ? Je ne crois
pas que ce soit le cas. En effet, en séance, on avait trouvé que

phi10 (x,y) = a^-2 . r . exp(-r²/2a²) ( u1 (phi) + u-1 (phi) )

était un vecteur de la base commune de L et H pour N = n1 + n2 = 1.

Or cette fonction n'est pas elle-même une fonction propre de L puisque

L ( u1 (phi) + u-1 (phi) ) = hbarre . u1 (phi) - hbarre . u-1 (phi)

ce qui est différent de

cst . (u1 (phi) + u-1 (phi) )

Ne faudrait-il pas dire que cette "base" d'états propres communs permet par combilis, d'engendrer tout les états propres de H et de L mais
que toutes les combilis de H et L ne sont pas à la fois état propre de H et L ? "

Bon, du calme, je vais essayer de remettre les idees en place, car on dirait que je n'ai pas ete tres clair en seance...

D'une part, on voit que H et L commutent, donc ils doivent admettre dans l'espace de Hilbert une base d'etats propres communs.

D'autre part, il est facile de construire une base d'etats propres phi_{n1,n2} de H de valeur propre hbar.omega.(n1+n2+1). Mais rien n'indique que ces etats sont egalement etats propres de L.

On voit que tous les etats phi_ {n1,n2} tels que n1+n2=N sont degeneres, c'est-a-dire qu'ils ont tous la meme energie. Donc ils forment une base d'un sous-espace de l'espace de Hilbert dont tous les etats sont eux-meme etats propres de H de meme energie. Dans ce sous-espace, il doit exister une autre base d'etats psi_{N,m} qui sont bien sur etats propres de H, mais egalement de L. En seance, nous avons ainsi cherche, pour N=0,1,2, a determiner ces psi_{N,m} en exprimant les phi_{n1,n2} comme combili de ceux-ci.

Donc, pour N=1, phi_{0,1} et phi_{0,1} sont des etats propres degeneres de H d'energie 2.hbar.omega (mais pas des etats propres de L), ils engendrent donc un sous-espace de dimension 2 d'etats propres de H de meme energie. Dans ce sous-espace, nous avons pu trouver une autre base d'etats psi_{1,+ou- 1}=f(r).u_{+ou- 1}(phi) qui sont bien sur etats propres de H, mais egalement de L.

Merci Florian pour la réponse (et aussi la réponse par mail) mais je comprends toujours pas pourquoi les

psi_{1,+ou- 1}=f(r).(2 )^-1/2 . exp(+ou-im phi)

sont états propres de H. On ne l'a pas montré ! On a juste montré que les phi_{0,1} et phi_{1,0} pouvait s'exprimer en fonction des psi_{1,+ou- 1} et pas l'inverse. Pour obtenir un état propre commun à H et L, ne faudrait-il pas exprimer les psi_{1,+ou- 1} en fonction des psi_{1,+ou- 1}. Ainsi, on resterait dans le sous-espace propre de H de valeur propre 2 ?

On a en effet montré en séance que les phi_{0,1} et phi_{1,0} peuvent s'exprimer comme combili des psi_{1,+1} et psi_{1,-1}. Mais tu peux facilement montrer que la matrice 2X2 qui exprime cette combili est inversible, et exprimer ainsi les psi_{1,+1} et psi_{1,-1} comme combili des phi_{0,1} et phi_{1,0}.

Donc les psi_{1,+1} et psi_{1,-1}, que l'on savait déjà états propres de L, sont aussi états propres de H de valeur propre 2.hbar.omega. Ils font partie de cette base d'etats propres communs de H et de L que l'on sait exister car les deux opérateurs commutent.

Ok merci Florian. Tout est clair maintenant.