Hello.
En fait, l'élément de longueur ds est un élément de longueur ! Autrement dit la distance entre deux points répérés dans un certain système de coordonnées. Donc il peut s'agir de la longueur d'une latte. La définition d'une différentielle exacte (voir Mawhin) ne s'applique pas à une longueur d'intervalle.
L'artifice de Jacobi consiste justement à introduire un paramètre L bien choisit à partir du quel il est possible de dériver (pratique pour le princiupe variationnel) ou de repérer un point le long d'un chemin choisit, etc. Soit deux points A et B distants de ds. On pose L(A)=0 et L(B)=ds et contrairement à ds, L est un paramètre donc il varie entre les points A et B le long du chemin (choisit a priori) dont la longueur vaut ds. Si C est un point au milieu de A et B L(C)=ds/2.