Exam du 23/08/04

Alor voila, j'ai essayé de faire cette examen, j'ai réussi a faire quelques truc, mais pas tout...

donc j'aimerais d'abord comparer mes réponses, si quelqu'un d'autre l'a fait

et ensuite... savoir si d'autre on réussi ce que je n'ai pas su faire...

Question 1 :
a) E(x) = 8
b)P(X=10) = 0.117
c)
µ0 > 48
µ1 = 48 (si p = 0.4)

H0 : µ0=µ1 contre H1 µ0 != µ1
Hm o1²=o2² = o² = (np(1-p))

P[(X-µ)/o]~N(0,1) donc P[(X-µ)/o >= Z(0.9)] = 0.9

Donc j'ai Xobs = 56
et Xth = Z(0.9)*o-µ = 50.8

Xobs > Xth --> Rejet de H0 en faveur de H1

Oui la formation est efficace au seuil 0.9

Question 2:
je vais juste mettre les valeur finale... pcq les developement sont assez pénible

µx = 10
µy = 50
ox² = 25
oy² = 100
cov(x,y) = 40

Sxx = 250
Syy = 1000
Sxy = 400

a&b) Y = a + bx + e
a = 34 et b = 1.6
c)r² = Sxy/SxxSyy = 0.64
d)S = 353.55
IC = 50 +- 864,74 (A MON AVIS, Y A UNE FAMEUSE ERREUR!)
e) [SCEL (N-K)]/[SCR * (K-2)] = F(K-2,N-K)

Question 3 :
IMPOSSIBLE...
je n'arrive aps a trouvé l'EMV
donc, j'ai pas essayé d'aller plus loin....

Question 4:
a) K = 1/3
b)P[X>5] = 1-P[X<=5] = 0.015625
c)P[X2=n+1|X1=n]=(P[X2=n+1]*P[X1=n])/P[X1=n] = P[X2=n+1] = 1/2 * [X1=n]
...oui moi aussi jtrouve ca byzare comme réponse....
d)ca se complique...
a mon avis, j'ai pas bon enfin soi je dis tjrs
apres un dévelopement monstrueux, et des série infinie a résoudre... non non, meme pas la suite géométrique, je trouve...
0,5257... me demander pas d'expliquer y a 3 page de dévelopement

Question 5 : j'ai pas fait, mais ca m'interesserais d'avoir els solution, comme ca je perd pas mon temp a chercher...

merci, si question héziter, et si vous voyez que jsuis completement a la masse, dites le moi , (avant l'exam de préférence )

loic,

Alors, jte dis, j'ai rien fait, mais jpeux te donner les conseils de Giovanni sur la question 5

"
Pour calculer la P[Y<=X] il faut intégrer la densité jointe f(x,y) (qui est donnés par le produit des densités marginales) sur le triangle de coordonnées
(0,0), (a,0) et (a,a) du plan cartésien X-Y, car Y est positive (Y est une exponentielle) tandis que X varie entre –a et a (dessinez la droite d’équation Y=X pour comprendre). Pour les bornes, il faut considérer que, pour chaque x entre 0 et a, y varie entre 0 et x.

J’ai la solution. Si vous voulez, on peut se voir lundi mais je préfère que vous essayer de trouver par vous-même pendant ce week-end avant de se voir dans mon bureau. N’hésitez pas à prendre rendez-vous avec moi pour ce lundi 10 décembre.
"

et ses coordonnées :
Giovanni Motta
Ph.D. student & Teaching Assistant

Institute of Statistics, UCL
20 Voie du Roman Pays
B-1348 Louvain-la-Neuve Belgium
Office: C131
e-mail: motta@stat.ucl.ac.be
Tel.: 0032 (0)10 47 88 60
Fax: 0032 (0) 10 47 30 32
Gsm: 0032 (0) 475 42 51 08

Voilà voilou

Salut,
voila ce que j'ai fait de mon coté.
1) a. idem
b. Je pense qu'il faut plutôt calculer P(X>=10)=0.2583
c. Je suis d'accord avec toi mais j'ai fait autrement : que la formation est efficace revient à dire que la probabilité est plus grand de réussir, donc mon test est H0 : p=1/4
H1 : p>1/4
Puisque n=120 et que sous l'hypothèse H0 p=1/4 on a l'approximation de la loi binomiale par la normale N(np,npq)=N(30,22.5)
Je pose donc Z=(X-µ)/o² qui suis la normale N(0,1)
Je calcule donc P0(X>=56)=P0(Z>=(56-µ)/o²)=P0(Z>=1.15)
=1-P0(Z<=1.15)=0.1251> alpha On rejete donc H0 au profit de H1 ce qui signifie que la formation a un intérêt.

2) a. Je ne vois pas pour quoi Sxx,Syy,Sxy ne sont pas simplement égalent à Var(x),Var(y),Cov(x,y) respectivement?
b. c. idem
d. Pour moi S=(SCRRg/N-2)=(SCT-SCRgL)/8=(Syy-b²Sxx)/8=4.5
Pour l'intervalle de confiance on utilise la statistique de test
(û-u)/S*sqrt(1/8+(x0-xbar)²/Sxx) qui suit une Student de degré 8 où j'ai posé u=y et x0=10 Donc IC=[T(8,0.95)*41.06-50,T(8,0.05)*41.06-50]=[26.37,-27.92].

Pour l'autre on rajoute juste 1 dans le terme sous la racine dans la variance de a+bX et de la même manière on a
IP=[34.74,-25.5]. Pour ce qui est de commenter je n'en sais rien !
e. Je me dis que le fait qu'il y ait une influence entre X et Y revient à se demander si b=0? Sinon bien que les demandes augmentent le delai reste constant.
H0: b=0
H1: b<>0
Statistique de test (^b-b)/(S/Sxx) qui suit une student de degre8
On a bobs=2.13 or, T(8,0.95)<bobs donc on rejet Ho au profit d'une influence entre X et Y

Pour la quatre je n'ai rien fait pour la 5 c'est comme l'explique Sophie et pour la trois je fait comme dans le cours
a. o=sqrt(S[v²]/3n où S[.] signifie la somme sur toute les valeur posibles prises par v.
b. o=2
c. Puisque E(Xn-o)²=Var(Xn)+b , et que b=0 (biais de la méthode des moment sans substitution) , Var(Xn)=Var(x)/n je trouve que
E(Xn-o)²=(3-8/pi)o²/n.
d. C'est dans le cours mais je ne connait pas!

Voila, mais je ne suis pas sur de mes réponses il vaut mieux attendre d'autres avis ... De plus je dois encore faire le dernier chapitre de Philo donc je ne prend pas le temps de me relire
A plus

je dis Sxx = n*V(x)

a cause de ceci... : http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_lin%C3%A9aire
je 'nai pas verifié si ils ont la meme relations dans le bouquin, mais je ne vois aps pourquoi il n'aurias pas la meme....

La variance des xi = V(x) = 1/n * Sum([Xi-Xm]²)

Ca ne répond en rien à ta question, mais c'est la même définition qu'on a utilisé bien qu'on a pas mis dans le cours N . V² mais direct la somme des carrés...
Mais fait gaffe parce que c'est pas cet estimateur (V²) qu'on utilise pour la variance, on utilise S² parce que c'est un meilleur estimateur. Et n'oublie pas de mettre tes carrés

heu... c'est pas sur les sigma qu'il faut les carré?

oui mais a peut de chose pret, V(x) = sigma² = S² non?
vu que S² est un estimateur pour Sigma²

la seule question est que avec S² c'est souvent N-1
et avec Sigma ² c'est N
donc lekel prendre...

heu, si j'ia bien compris sophie, on utilise la meme definition, mais dnas les exercice on ne multiplie pas par n?
c'est byzare quand meme...., enfin c'ets pas la premiere foiis que je vois des truc byzares en stat

Halala
Bon, récapitulons :

(V plus ou moins égal à S ) toujours différents de sigma
Tous les trois, tu peux les mettre au carré ou pas.

V et S sont des estimateurs, ils ne te donneront jamais sigma..
Mais en tant qu'estimateur, S est meilleur que V.

V = 1/n sum(Xi - Xm)²
S = 1/(n-1) sum(Xi - Xm)²
et sigma ben c'est sigma.

Quand n tend vers l'infini, tes estimateurs ont une espérance sigma.

p 12 de ton sillabus en fait

Donc, Sxx est bien égale a S[(Xi-Xbar)²], Sxy=S[(Xi-Xbar)(Yi-Ybar)] ?

heu....

c'est le meme V qu'en proba?
pcq en proba il me semble quand meme que V = sigma² et je pense pas que ce soit un estimateur..., enfin bref, en pratique c'est quand meme +- kiff

faudrais quand meme que je la lise cette page une fois...

si jammais t'as le temp, ca me ferais bien pratique, et a bcq de monde je pense d'avoir un récapitulatif des formule qui revienne de maniere récurente... (oauis ouais je sais c bcq de boulot...) vraiment si t'as le temp t'e fé pas

Oui oui philippe, ca ne change pas

Mais pour Loïc, je sais que ça revient plus ou moins pareil à la fin, tu as un nombre, mais c'est une valeur approchée du vrai nombre sigma, c'est pour ça qu'on fait des intervalles de confiance

Imagine que tu calcule ton V² en ne faisant qu'une ou deux expériences, il y a très peu de chances que t'arrive à connaitre sigma... C'est comme pour la moyenne, tu peux pas connaitre mu en faisant la moyenne sur 3 expériences.

Je veux bien faire un ti résumé des formules importantes, mais j'ai pas co revu les intervalles de confiance etc, donc je le ferai qd j'aurais revu ces exercices, demain soir..

yeah... nikel

Pour la question un, j'ai un prob:
a) c'est ok, et b) ma réponse est plus porche a celle dephillipe que celle de loic...
mais pour c) moi j'ai que la formation n'est pas efficace... serais ce possible?... Es que quelqu'un a obtenu ça aussi ou je suis la seule... Je pensais que ma réponse était plus ou moins corecte....
Voila

Sophie a écrit:

Halala

(V plus ou moins égal à S ) toujours différents de sigma
Tous les trois, tu peux les mettre au carré ou pas.

V et S sont des estimateurs, ils ne te donneront jamais sigma..
Mais en tant qu'estimateur, S est meilleur que V.

V = 1/n sum(Xi - Xm)²
S = 1/(n-1) sum(Xi - Xm)²
et sigma ben c'est sigma.

Quand n tend vers l'infini, tes estimateurs ont une espérance sigma.

p 12 de ton sillabus en fait

Je vien de relire la page 12

heu.. en faite moi quand je disais V(x) je pensis Bien a Var(x)=sigma²
mais de faite, V est un estimateur de sigma, tout comme S

et de faite, S est meilleur que V
y avait un mal entendu :p

lol alors oui, V(X) c'est sigma Rhalala ces notations...

Bon premièrement je voulais signaler qu'après réflexion ma solution de l'examen doit surement etre complètement fausse
Ensuite , et là je rejoint un peu Loïc, est ce que qqc peut confirmer les affirmations suivantes :
- Sxx=S[(Xi-Xbar)²]=(N-1) Sn² , où Sn² est l'approximation de sigma² par la méthode des moments, donnée par Sn²=S[(Xi-Xbar)²]/(N-1)
- Sxy=S[(Xi-Xbar)(Yi-Ybar)]=(N-1) Cov(X,Y) , là je tire au pif.
Merci...

et que lorsque dans la question 1 de l'examen on donne telle ou telle variance on parle en fait de son approximation?

Sxy=S[(Xi-Xbar)(Yi-Ybar)]=(N-1) Cov(X,Y)



preque, juste a coté
Sxy=S[(Xi-Xbar)(Yi-Ybar)]=N Cov(X,Y)



Voila aparement mon lien précédent déconnait... donc je le remet

il s'agit en faite d'une encyclopédie libre sur internet... (qui est assez assez diversifié... l'idée est que n'importe qui peut rajouté une définition... oui ca fait peur, on se dit que les difinition doivent etre merdique... bhen en faite non, (oui oui c byzare, mais c comme ca...))

http://fr.wikipedia.org

et coila la page sur la regression linéaire, (si le lien ne passe pas, il suffit de faire une recherche...)

http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9gression_lin%C3%A9aire


Pour répondre a ta question philipe,
en faite quand ils disent : X1.....Xn iid ~N(u,o²)
ce ne sont pas des estimateur, mais on ne les connais pas pour autant...
a nous de les estimé!
(u ~= Sum(Xi)/n Var(Sum(Xi)/n)~=S²/n-1 donc o²~=Var(Sum(Xi)/n)/n = S²/(n*n-1) vous trouvez ca byzare, moi aussi... a verifié

Mais il arrive aussi parfois qu'il nous donne des estimateur, mais alors il le disent...

en esperant avoir eclairci un peu tes idées... (ca m'étonnerais quand meme... )

Citation :

Var(Sum(Xi)/n)~=S²/n-1 donc o²~=Var(Sum(Xi)/n)/n = S²/(n*n-1) vous trouvez ca byzare, moi aussi... a verifié

heuu si tu réfléchit 5 sec :

var (sum(Xi) / n) = 1/n² var(sum(Xi)) = 1/n² sum (var(Xi)) (car indépendants) = 1/n² sum(sigma) = 1/n² . n . sigma = sigma/n

mais jvois pas à quoi ça te sert de calculer ça....

heu... de faite..
jsuis assez c** sur ce coup la

jm'enbrouille moi meme comme un cretin... lol

enfin bref... malgré tout cela, je commence a m'y retrouvé je pense ds tt ce foutoir... (et je mise a fond sur ma chance... )

ok merci.
Et vivement que cet exam soit passé et l'ideal serait d'en être quitte ! Ca me broute!

j'arrive pas a m'y mettre :s

pcq j'ai l'impression que tout me semble clair, et en meme temp que rien n'est clair,

mais que une ou duex journée n'y changerons rien... :s

lol pour moi tout est clair donc si vous zavez co des questions...

P'tit Loic, siteplèèèè, explique moi (plus ou moins) comment t'es parvenu a faire le 4 de la question 4... J'ai aucune idée... je sais que t'as pas envie de l'expliqué, mais dit moi au moins comment comencé, comment m'y prendre...
Sinon pour le reste de la question j'ai idem... même pour le 3, et même si ca me parrait bizzard aussi...
Autre chose.. pourquoi multiplie tu les var et cov par 10 pour avoir les Sxx etc.. dans la question 2?
voila, ce serait tout... pour l'instant!
gracias

PS. C'est quoi ces histoire de sigma à la noix de coco! ne vous casser pas la tête!!!!!

Pour la question 2 :
Sxx = N*Var(x)
Syy = N*Var(y)
Sxy = N*Cov(x,y)


Pour la 4.4 :
Ok on s'accroche...

notation :
x^y c'est x exposant y
C(3,2) c'est la combinaison de 2 element parmis 3
Sum(i=1,n)[......] c'est la somme de i=1 à n de .......
Int(1,n)[...........] c'est l'integrale de 1 à n
inf+ = + l'infini

2 apareil vendu, ca vx dire 2 apareil vendu en une commande,ou 1 apareil vendu dans 2 commande, ou alor 1 apareil vendu ds 2 commande, et 0 ds une commande, ou alors 1 apareil vendu ds 2 commande et 0 vendu ds 2 commande.... et ainsi de suite jusqu'a l'infinni...

P(Y=2)=K*((2/3)^2 * (1/2)^2)/((1/2)^2) + K*((2/3)^2 * (1/2)^3)/((1/2)^3) + C(3,2)K*((2/3)^2 * (1/2)^2)/((1/2)^2)......

je simplifie tt ce qui est simplifiable pour qu'on s'y retrouve mieu :

P(Y=2)=K[(2/3)^2 + (2/3)^2 + C(3,2)(2/3)^2*(1/3)^1 + C(4,2)(2/3)^2*(1/3)^2 + C(5,2)(2/3)^2*(1/3)^3.... ca commence a devenir claire j'imagine....

en mettant (2/3)² en evidence, et en ecrivant C(x,y) en factoriel
C(2,k) = k!/(2! * (k-2)!) = (k+1)*(k+2)/2

on obtient....

P(Y=2)=8K/9 + (4K/(9*2)) * Sum(k=1,inf+)[ ((k+1)*k+2))/(3^k)]
P(Y=2)=8K/9 + (4K/(9*2)) *Int(1,inf+)[ ((k+1)*k+2))/(3^k)]

OUF.... ca converge...

apres des calcules tres pénibles, je vois que
Int(1,inf+)[ ((k+1)*k+2))/(3^k)] = (4/3ln(3))+(5/3ln(3)²) + (2/3 ln(3)³)
meme si je vous l'accorde, il y a probablement des fautes ds l'intégrations... (c'est pas vraiment mon fort...)

Donc....
P(Y=2) = 8K/9 + (4K/(9*2))*((4/3ln(3))+(5/3ln(3)²) + (2/3 ln(3)³))

et on trouve 0.5257 (coup de bolle, c'est plus petit que 1 )

voila.... mais a mon avis, il dois quand meme surement y avoir moyen de faire plus simple... (si il s'avererais que mon calcul est un peu correcte...)


PS : maintenant on comprend mieu pourquoi... j'avais aps trop envie de l'expliqué... et vive les notations :p

C'est claire eli?