Anciens examens

J'ai résolu quelques unes des questions (particulièrement les lagrangiens). Il n'y a que des réponses parmis les 10 premières feuilles du paquet, inutile d'aller chercher plus loin
Si quelqu'un les a fait également, qu'il y jette un coup d'oeil, histoire de savoir si les réponses sont plus ou moins correctes (il y a deux ou trois choses dont je ne suis pas tout à fait certaine).

Voici les liens :
http://img260.echo.cx/img260/4008/dsc003559yw.jpg
http://img260.echo.cx/img260/8562/dsc003564zw.jpg
http://img260.echo.cx/img260/9528/dsc003573xg.jpg
http://img260.echo.cx/img260/2441/dsc003581mi.jpg
http://img260.echo.cx/img260/1831/dsc003598gl.jpg

Pour la question 2 de septembre 2004, il y a bien un des deux x² où il doit y avoir un point dessus, non ?
Et sinon, j'ai complètement oublié ce qu'était un point stationnaire J'ai cherché dans le cours, mais je n'ai pas trouvé, alors si quelqu'un a une ptite idée...

rhooo... tu crains sophie,

je comptais justement te demander ce qu'était un point stationaire

ça n'a pas avoir avec les diagrammes potentiel ?
vous savez... les beaux dessins avec la courbe du potentiel où, pour connaître le mouvement d'une bille par exemple, "on imaginait qu'on la dépose quelque part sur la courbe et puis qu'on la laisse voyager".

si on la déposait sur une colline, le point était dit instationnaire (instable). Si on la déposait dans un creux (fond d'une "vallée") le point était dit stationnaire (stable).

quoique... je me demande si je ne confond pas stationnaire avec stable ?

Heu si, je crois bien que tu confonds
Stables et instables, c'est pour les équilibres, quand il n'y a pas de mouvement.
J'ai demandé à Dany et il m'a dit qu'il n'avais pas vu ce mot Donc c'est pas en première qu'on a vu ça.
Par contre, j'ai trouvé ceci dans mes notes :

La trajectoire est un point stationnaire de S, l'action.

C'est peut-être donc l'ensemble des trajectoires possibles en connaissant l'action ? (et donc sans les données initiales de Cauchy)

dans les examens il parle de point stationaire non?

c'est pas un point stationnaire de l'action càd telle que S=0 ou autrement dit l'action est minimisée (pas toujours d'accord)

pour l'exam de juin 2001

je trouve comme vecteurs propres et valeurs propres:
-3: [0,-1,1]
-2: [-1,1,1]
-1: [0,1,1]

[img=http://img260.echo.cx/img260/3824/examjuin20010ns.th.jpg]

bon, j'ai fait le 1er
et j'ai quelques petites differences, surtout au niveau des signes!
(mais on arrive a la meme solution finale)

pour les points d'équilibre :
c'ets simplement V = 0
-> x=y/2

A = I:i2:

B = ²V(equilibre) = [2,-1][-1,2]

on diag -> valeur propre = 1 et 3
vp(3) = (1,-1)/sqrt(2)
vp(1) = (1,1)/sqrt(2)

Ax''+Bx = 0
PtAPPtx'' + PtBPPtx = 0
PtAP = I:i2:
PtBP = D = [3,0][0,1]
Ptx = q

q1 = a cos(sqrt(3)t) + b sin(sqrt(3)t)
q2 = c cos(t) + d sin(t)

voila.... comment calcule tu B?

et tu a ecris comme réponse
u = ai cos(...) + bi sin(...)
u = ( ai) cos(...) + ( bi) sin(...)
u = A cos(...) + B sin(...)
tout ca pour dire, que ca sert a rien de sommer quoi :p

heu... benja, a mon avis tu t'es planté en calculant B

V = (-q2 + 2q1 -q3, -q3 + 2q2 -q1, -q1 +q3 -q2) (ca ne vous rapelle pas un ptit exercices avec des ressorts? LOL)
-> point d'quilibre en V = (0,0,0)
-> q1 = q2 = q3 -> équilibre

T = I
B = ²V (équilibre)
B = [2,-1,-1][-1,2,-1][-1,-1,2]

(tient ca ne vous rapelle pas la matrice tridiagonale avec les ressorts? :p )

valeur propre :
0 -> P1 = (1,1,1)
3+sqrt(2) -> P2 = (1,-1,-sqrt(2))
3-sqrt(2) -> P3 = (1,-1,sqrt(2))
il ne sont pas normé évidement

est ce moi qui ai fait une faute?

question 4 et 1 de 2003 j'ai la meme chose que sophie

pour la 4 de 2003, la quantitée conservée c'est l'intregrale de painlevé?
il attend une déponstration la vous croyez?

question 1 de juin 2002

pour la partie A, je l'ai déja fait (voir plus haut)
(je n'ai pas la emme chose que sophie d'ailleur, ni meme que benjamin )

pour la partie B :

x' = Ax

PtAP = D = [ :lambda:1,0,0....][0.....][][][][....0,0,0 :lambda:n]
Pt = [v1][v2][]...[][vn]

Ptx' = D Pt x
u = Ptx

ui' = :lambda:i ui ->ui = Aexp( :lambda:i t )
ui0 = A
u0 = Pt x0 = ci vi = ui0
ui0 = ci vi

u = ci vi exp( i t)

voila...

juin 2001 question 3

tu t'es planté dans ton lagrangien... (t'as tout simplifié et t'as oublié ton facteur 1/2 mis en évidence)

H = Pr²/2m + P:phi:²/2mr² + Pz²/2m + cos( - z/z0)

r' = Pr/m
z' = zPz/m
' = P:phi: /mr²

Pr' = 0
Pz' = sin( - z/z0)/z0
P:phi:' = - sin( - z/z0)

pour Pz' et P:phi:' je ne sias plus si j'ai mis le moin devant, donc, y a pt'etre une faute de signe

b) pas de coordonée cyclique de faite, elles interviennent toutes
c) moi jdirais que mr' est conservé, car Pr' = 0 -> Pr constant
->mr' = cste (conservation de la quantitée de mouvement horizontale) (A CONFIRMER)

Heu oui, pour la matrice B, je me suis trompé, j'ai oublié le -
Deuxième fois que je fais l'erreur, j'ai intérêt à me surveiller
Et c'est vrai que ça ne sert à rien de sommer non plus.

Sinon, oui, il y a aussi une erreur avec mon 1/2 que j'ai oublié
Bon décidément, faut que je me surveille

PS : ah oui, Loïc, édite si t'a des commentaires à rajouter parce que ça fait long de lire ton monologue

lol

regarde un peu si y en as pas chez moi si tu vx bien

Pour répondre à la question du point stationnaire voici: on dit qu'un point est un point stationnaire de l'action si la dérivée de l'action en ce point est nulle.

Par exemple, tous les points d'une trajectoire sont des points stationnaires de l'action correspondante à la dite trajectoire.

Notamment, si une trajectoire minimise l'action alors tous les points de la trajectoire sont des points stationnaires de l'action. Il est à noter que l'inverse n'est généralement pas vrai: ce n'est pas parce qu'un point est stationnaire de l'action qu'il minimise celle-ci. C'est tout à fait analogue au fait que le minimum/maximum d'une fonction possède une dérivée nulle mais qu'un point de cette fonction possèdant une dérivée nulle n'en est pas forcément un extrémum (exemple: la dérivée de x³ en 0).

O putain! Ya pas qqun qui sait me filer ces examens??? Les fichiers sur le forum marchent 1 fois sur 2 sinon, par mail. Ce serait bien sympa.
Je n'ai que ceux de 1992, 1993 des trucs tt pouri quoi.

la dérivée de l'action par rapport au temp?

si c'est le cas, ca veux dire que
stationaire <-> EL ( Dl/Dx' = Dl/Dx) <-> c'est la trajectoire(reel)

J'ai pas compris ton : EL ( Dl/Dx' = Dl/Dx)
mais de toute façon, comme l'a dit Christophe, stationnaire --> trajectoire est faux donc ça ne doit pas être correct ce que tu as mis

Sophie, toi qui semble avoir un scanner tu sais pas faire ca?

Sophie a écrit:

J'ai pas compris ton : EL ( Dl/Dx' = Dl/Dx)
mais de toute façon, comme l'a dit Christophe, stationnaire --> trajectoire est faux donc ça ne doit pas être correct ce que tu as mis

bhen il dit que stationaire, c'est si la dérivée de l'action est nulle


hors!
d/dt S = d/dt L dt = L = 0
donc, de faite j'ai dis n'importe quoi...

mais ca me semble quand meme byzare, en pratique on calcul ca coment?

parceque dans les questions d'examens, ca semble assez nikel de mettre un "chemin" qui satisfait euler lagrange

PS : je met bien un chemin, pcq la trajectoire normalement il y en as que une, et c'est le chemin qui minimise l'action, (celui qui satisfait euleur lagrange)

Selon la théorie, si la dérivée de l'action pour une fonction est nulle (l'action est minimale), alors cette fonction est la trajectoire.
Mais il y a un mais : ca ne marche pas si l'intervalle est trop grand. En effet, l'action peut ne pas être minimale pour ce point.

Donc, les points stationnaires sont les fonctions qui satisfont "la dérivée de l'action est nulle" (mais pas forcément Lagrange) et la trajectoire est la fonction qui satisfait les équations de Lagrange (et donc également le "la dérivée de l'action est nulle").

C'est comme ça que j'ai compris l'histoire en tt cas

loicus a écrit:

juin 2001 question 3

H = Pr²/2m + P:phi:²/2mr² + Pz²/2m + cos( - z/z0)

Jusque là, pas de prob (tous les messages précédents aussi, j'ai la même chose, après rectification de toutes mes erreurs ^^)

loicus a écrit:

r' = Pr/m
z' = zPz/m
' = P:phi: /mr²

Pr' = 0
Pz' = sin( - z/z0)/z0
P:phi:' = - sin( - z/z0)

Heu, pour z', je dirais plutôt z'=Pz/m
et pour Pr' = -m p ² 1/r³
Et sinon, oui, tu as bien oublié un signe moins pour le calcul de p'

pour z', oui évidement

et l'autre, bhen j'en sais rien je retrouve plus mes feuilles MDR
t'as surement raison...

ce qui fait que mr' n'est pas conservé... ca semble plus logique
(plus en accord avec les équations d'EL en tt cas)