EDP de l'examen

Est-ce quelqu'un à réussi à resoudre l'EDP suivante (celle de l'exam de l'an passée !) ou du moins à trouver une methode de résolution ?

Dx^4 u + 1/c² Dt^2 u = 0

Dx et Dt sont les dérivées partielles.

arg...

j'ai pas fait le bon
mais, il est assez similaire... so jt'explique pour
Dx:e4: w(x,t) = -1/ Dt w(x,t)

w(x,t) = f(x)g(t)

Dx:e4: f(x)/f(x) = -1/ Dt g(t)/g(t) = K (avec K tout a fait quelquonque...!!!)

->f(x) = A exp(Kx) + B exp(-Kx)
->g(t) = C exp(K t) + D exp(-K t)

maintenant tu applique les conditions initiales, et tu fait joujou...!
en apliquant les CI et CF, tu va voir que K ne pourra que etre complexe, ou que etre reelle.

la les CF était, f(0) = f( ) = 0
f(0) = A + B = 0 -> A = -B
f() = A[exp(K:pi:) - exp(-K:pi:)] = 0
ici on est obligé d'imposer que K est complexe pure.
et on a K = i n

fn(x) = An[exp(inx) - exp(inx)]

la derniere condition est : w(x,0) = sin²(x) sur [0, ]
w(x,0) = f(x)g(0) = (C+D)An[exp(inx) - exp(inx)]
w(x,0) = 2i(C+D)An[sin(nx)]
An' = 2i(C+D)An*

w(x,0) = An' sin(nx)/ (GENIAL, C'EST FOURIER)

A0 = 1/sqrt(2l) = 1/sqrt(2:pi:)

An = 1/sqrt() sin²x sin(nx) dx
alors ca c'est le bonheure a l'état pure....
je trouve An = -1/sqrt()[4/n] mais c'est surement criblé de fautes!

w(x,0) = 1/sqrt(2:pi:) + (-4/n ) sin(n x)
w(x,t) = g(x) f(t)

voila... je trouve ca byzare qu'on ai pas de valeur pour C et D, mais j'imagine que c'est simplement pcq il manque une condition, non?
genre w(x,1) = machin brol

qu'en pensez vous?

Merci bien Loïc pour ma réponse. Oue moi je pense comme toi, j'ai l'impression qu'il n'y a pas assez de conditions parce que on a une EDP d'ordre 4 !!

Bizare !

PS : c'est ma réponse,
pas la tienne

MDR

non, parcontre moi je me pose une question
est ce que f = A0 + An.....
ou alors f = An.....

moi ya un truc qui me chamboule:

Citation :

Dx f(x)/f(x) = -1/ Dt g(t)/g(t) = K (avec K tout a fait quelquonque...!!!)

->f(x) = A exp(Kx) + B exp(-Kx)
->g(t) = C exp(K t) + D exp(-K t)

D:e4:f(x)-k:e4:f(x)=0 est une équation d'orde 4 on a donc 4 racines au polynome caractéristique ( ici si k est réel on en a 2 mais de multiplicité 2)

La solution serait alors f(x)= (Ax+a)exp(Kx)+(Bx+b)exp(-Kx)

on doit mettre (Ax+a) et (Bx+b) car multiplicité =2

et avec ca j'ai essayé de continué l'exercice: impossible et ya aucun rapport avec fourier j'ai l'impression.

Alors que comme Loïc ca a l'air de marcher pas mal????????

mathématica me dit aussi autre chose:




voila qui change encore tout........

ha oui, la multiplicité, j'avais oubléi ce truc...
j'aime pas...!

mais a mon avis, faut pas trop ce prendre la tete avec ca... (enfin :s)

Cet exo ma complètement déprimé... Enfin on a beaucoups de chance de ne pas retomber dessus. Mais Loïc pour tes C et D ce ne serai pas parce que g'(t)=k g(t) -> g(t)= A exp(k t) et lorsque l'on reforme w(x,t) on "fusionne" A et les autre constantes?

Beaucoup sans 's' biensûr...

Philippe a écrit:

g'(t)=k g(t) -> g(t)= A exp(k t)

haaa oui, d'office, la j'ai fait n'importe quoi...
il n'y as éviudement que g(t)= A exp(k t)
(j'était en mode : polynome de 2eme ordre )
excusé moi...

on a donc D = 0!

mais a mon avis, il dois surement y avoir moyen de rajouté encore une equation de bord... vous pensez pas?
parceque, on n'as aucun parametre qui va nous donné le taux de déformation dans le temp de notre fonction...
un parametre qui controle la vitesse de l'évolution dans le temp quoi (C)

enfin soit, d'office comme il fusione avec A pour donné A', ont s'en fout un peu...

Bon, y arrivera-t-on???
Si on pose, X''''/X = - k^4 (obligé d'avoir un moins, pour avoir des racines dans l'expression de X, ou bien poser = k^4 mais c'est un k plus complexe...). On a 4 racines qui ne sont pas des imaginaires pures (racines de l'unité)!!! Et ca, ca fait chier!!! X(0) = 0, donne A+B+C+D = 0. Mais X( ) = 0 donne que des merdes vu que les racines ne sont pas imaginaires pures..., on arrive à rien avec ca.
Un autre truc?

comme j'ai fait c'est pas bon?

j'ai l'impression que l'équation que tu résout c'est celle de la chaleur
(c'est la même solution je veux dire)

bhen c'est une equation parabolique, c'est normale qu'elle se ressemble...
je dis pas que y a pas de faute dans mon truc, c'est clair qu'il y en as...

mais a mon avis c'est un truc de ce genre la, on a rien vu d'autre de tte facon...

En fait j'avais pas bien regardé. C'est bien de l'équation de loic dont je parlais. Mais c'est assurément pas si simple que tu ne le dis. Ya 4 racines et déja ca, ca change pas mal, et puis elles sont pas imaginaires pures comme j'expliquais ca coince pas mal à cause de ca. Faites les calculs et vous verrez, enfin, si vous êtes aussi nul que moi.

si on pose f''''(x)/f=k:e4: on a comme racine du polynome caractéristique
k,-k, ik,-ik

si on pose f''''(x)/f=-k:e4: on aura comme racine
k(1+i)/(2:e1demi: )
k(-1+i)/(2:e1demi: )
k(1-i)/(2:e1demi: )
k(-1-i)/(2:e1demi: )
comme le dit damien c'est pas des imaginaires purs.

oui, ce ne sont pas des imaginaire pure (et oui, il y a bien 4 racine.. j'ai fait la faute), mais dans le dévelopement pour moi, on ne sais résoudre que pour les imaginaire pure... sinon, on ne sias pas résoudre!(enfin je pense, j'ai aps regardé en détail..!)

Oui c'est moi qui mai trompé. C'est égal à + k^4. Mais même avec ca, ca reste très dur pcq la condition sur X( ) = 0 ne donne rien d'immédiat.

Pour les racines on n'a pas que des pures on a le polynôme caractéristique qui vaut -k = 0 ssi
( -k ) ( +k ) et donc
= +/- ik ou +/- k ce qui correspond à la résolution que Banjamin à sortit de Mathematica. A mon avis il doit y avoir moyen de ramener les deux exponentielles en une fonction cosh ou sinh et en cos et sin pour les imaginaires mais bon je me suis déjà cassé la tête sans résultats. Je revrai ça demain. ( mais quelle bonne blague de nous foutre des dérivées d'ordre quatre...)

c'est pas parceque il y a 4 racine comme résolution de l'équation differentiel, qu'il y a 4 solution physique!
mais, vous devez surement avoir raison...

Bon, je viens me mêler de vos histoires

En fait, je ne vois pas pourquoi vous posez une constante k . Cela exclu directement pas mal d'équations, comme le disais Damien (si j'ai bien compris ce que tu disais). De plus, on a vu au cours, pour une équation d'ordre 2, que si on voulait qu'elle s'annule en plusieurs points, il fallait mettre un nombre réel négatif. Or votre k exclu tous les négatifs !

Comme l'a dit benjamin :

Citation :

si on pose f''''(x)/f=-k:e4: on aura comme racine
k(1+i)/(2:e1demi: )
k(-1+i)/(2:e1demi: )
k(1-i)/(2:e1demi: )
k(-1-i)/(2:e1demi: )
comme le dit damien c'est pas des imaginaires purs.

Moi j'ai mis à la place des k² et non pas k , mais ça donne la même chose, à k près.
Du coup, on a une solution des f(x) qui est :

a exp[ (k/2) x ] + a exp[ - (k/2) x ] + a exp[ i (k/2) x ] + a exp[ -i (k/2) x ]

Les conditions aux bords donnent a + a + a + a = 0 et l'autre condition donne un truc affreux. On peut transformer cette solution en somme de cos, sin, cosh, sinh, mais je ne pense pasque cela simplifie vraiment. On aura plutôt pour la première condition au bord b + b = 0. Mais ça se compliquera pour Fourier (et d'ailleurs on a pas vu en cosh et sinh)...

y me soul cet exercices...

lol

PS : je vais y aller au bluff pour les equa diff,
j'espere que j'ai de l'instint

Sophie: on peut poser = + k^4 car on a bien des exponentielles complexes même en faisant ca (je m'était planté au début, pensant qu'on en aurait pas en faisant ca, enfin, jsuis con). Et il vaut mieux, sinon, ca pue. Et j'imagine que le début de solution donné est fait en posant = +k^4 (Sinon, c pas ca).
Dans out les cas, c'est un truc de f...

lol, si tu es con alors qu'est-ce que je suis
sinon, ok on peut avoir des solution imaginaires avec k mais ça ne prouve pas que tu as toutes les solutions... Dès lors, pourquoi ne pas poser = ( où est réel ou imaginaire) au lieu de k ?

celle la je peux répondre, elle est facile...

pour pas se faire chié avec des racines 4eme pdt tt le dévelopement :p