PTHM ex 7

je ne vois pas comment montrer que P0[mb=N]=P0(b,N) + P0(b+1,N)

car moi j'ai cette relation avec un moin!

P0[mb=N]=P0[max w=b-1]=P0[max w<=b]-P0[max w<=b-1]
= P0(b,N) - P0(-(b+1),N)
= P0(b,N) - P0(b+1,N) (par symétrie de P0)

mais j'ai toujours mon signe moins....

a l'aide...

loic,

j'attaque le 7 apres manger. je vais voir alors si je peut t'aider...

ha la je peux t'aider

donc, Po(M(b)>N)= (-b->b-1)Po(x;N)

on trouve alors
Po(max Ws=b)=Po(max Ws <b+1)-Po(max Ws <b)
=Po(M(b+1) >N)-Po(M(b)>N)= (-b-1->b)Po(x;N)- (-b->b-1)P0(x;N)=Po(b,N)+P0(b+1;N)

où M(x) est le temps de premier passage en x

à bhen merci philippe...

j'avais mal mis mes bornes à la somme...

cool

c'est remoi...

j'ai a nouveau un petit souci avec cet exercice...

ds la relation 1.103
je ne vois pas tres bien coment apparait le b/N
car si j'ai bien compris :
Po[mb = N] = Po[max w = b]= Po(b,N) + Po[b+1,N]
hors pour N+b pair, le terme Po[b+1,N] est nulle
Po[mb = N] = Po[max w = b]= Po(b,N) = C(N,(N+b)/2) donc je comprend pas tres bien d'ou bien le b/N

j'imagine que la faute est surement ici :
Po[mb = N] = Po[max w = b]
mais je ne vois pas pourquoi

merci pour votre aide

Citation :

j'imagine que la faute est surement ici :
Po[mb = N] = Po[max w = b]

Je le pense aussi. La probabilité d'arriver pour la première fois en b au temps N n'est pas égal à la probabilité que la distance maximale soit b car tu pourrais atteindre le maximum plusieurs fois. Enfin, c'est ce que je pense.

et cmt on fait alors?

P(mb = N) = P(mb > N-1)-P(mb >N)

J'ai fait un très long calcul dessus, et je l'avais montré en séance d'exercice. Si tu l'as recopié tu peux trouver le calcul, sinon je donne les grandes lignes car comme je n'ai pas de scanner à ma portée ...

ouais mais comme P(mb>N) = P[max w<=b-1]
et que P(mb>N-1) = P[max w<=b-2]

on a bien P0[mb=N] = P0[b,N] + P0[b+1,N]
donc y a quand même moyen de réexprimé cela comme ca...

pour ton développement... heu.. je l'ai noté mais je comprend rien... disons que tu n'étais pas tres tres clair... hum....

si tu pouvais me donner les grandes lignes ce serait cool

merci

Okidoc!

Donc, j'utilise la formule de mon post précédent.

P(mb = N) = P(mb>N-1)-P(mb>N)

et par l.102

= (somme de -b à b-1) P(x;N-1)-P(x; N)

Pour traiter cette somme j'utilise la définition de P(x;N) en terme de transfo de Fourier 1.9
et on a

d:phi:/2:pi: (somme de -b à b-1) exp(i x)( cos )^N-1(1-cos :phi)
en sommant exp(i x) (somme géométrique j'obtiens

(somme de -b à b-1) exp(i x)=(-exp(i b + exp (-i b))*(1-exp(-i )/2(1-cos )

Les termes (1-cos ) se compensent dans l'intégrale.

Après ça, je dévellope ( cos )^N-1=2^-N+1( exp(i:phi:)+exp(-i ) )^N-1 en termes de binôme de Newton.

Ce qui donne des termes en exp combiné avec des combinaison (N-1)!/j!(N-1-j)!

et comme d:phi:/2:pi: exp(x) = (x)

J'obtiens des sommes de termes delta. On remarque déjà que pour N+b impair, la contribution s'annule.
Pour N+b pair, en sommant les contributions on obtient la relation 1.103.

C'est vrai que j'ai pas été très claire cette fois-là , et ici je me demande si je le suis autant. Si il y a un truc qui cloche, n'hésite pas à m'en faire part.

ouais non ok...
j'ai capté.... mais c'est quand même pas tres beau comme méthode
merci libi

En effet, il y en a sûrement une meilleure, mais je ne sais pas laquelle .

Pour la dernière partie de cet exo, j'ai noté pour la correction, P(m0=N)=1/2P(m-1=N)+1/2P(m1=N-1) mais si le marcheur est pour la première fois en 1(ou -1) en N-1 soit N=1 et il vient de l'origine, soit N>1 et il est repassé au moins une fois en 0 (en N-2), bref je vois pas comment on peut justifier cette expres​sion(qui donne le bon résultat)

En fait, le seul N-2 possible dans cette relation est N=0, puisque le marcheur ne peut pas passer deux fois en 1 ou -1.

Le seul truc qui cloche c'est pourquoi calculer le temps de premier retour à partir de Pm-1 et Pm1, et là je ne vois pas comment justifier cela.

Voici la réponse du prof :
Au temps 1, il est en +1 ou en -1, avec probabilite 1/2 dans chaque cas.
Donc, la probabiblite d'avoir un premier retour en 0 au temps N est
egale a
1/2*(probabilite de faire un premier passage en 0 au temps N-1 partant
de -1)
+ 1/2*(probabilite de faire un premier passage en 0 au temps N-1
partant de 1).

Puisque (probabilite de faire un premier passage en 0 au temps N-1
partant de +/-1)
= (probabilite de faire un premier passage en -/+1 au temps N-1
partant de 0),
par invariance sous translation, on a le resultat.

Ah oui, c'est pas bête, merci bien Céline.