question sur l'ex 7.17

l'assistant avait donné comme tuyau la métric

ds² = c²dt² - ai(t) dxi²

est ce que le principe cosmologique n'impose pas ai(t) = a(t)
et on retrouverais donc la métrique de Robertson-Walker avec k = 0
est ce correct?

Il faut résoudre cet exercice en faisant abstraction du Principe Cosmologique. Dans ce cas, on suppose que l'Univers se dilate (ou se contracte plus vite dans une des 3 directions de l'espace).

Les solutions a (t) auront la même forme mais les constantes d'intégrations peuvent être différente.

En ajoutant une constante cosmologique, qui peut être interprétée comme un fluide avec une pression (négative) ISOTROPE. Les équations d'Einstein ont donc la forme suivante (partie spatiale)
R
-Le tenseur de Ricci est diagonal (il suffit de le calculer à partir de la métrique donnée dans l'énoncé), donc a priori cohérent avec les équ. d'Einstein.
-Néanmoins, si les a (t) ne sont pas identiques, R n'est pas proportionnel au symbole de Kronecker => pas de solution aux éq d'Einstein et donc la métrique proposée n'est pas physique (si la constante cosmologique est non nulle et si la théorie de la RG est une théorie physique ...).


Vincent

edit: R -> R

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bon et bhen j'ai fait l'exercice (la 1ere partie en tout cas)

mes résultats me sembles byzare, donc si quelqu'un d'autre l'as fait... ce serait cool qu'il mette ausis les siens histoire de comparer...

(' = d/dt)

R = - ai''/ai
R = -ai''/ai³
R = -2 ai''/ai

R - 1/2 R g = 0 car univers vide

j'injecte R dedans... l'équation est toujours satisfaite...

et si j'injecte R dedans...
R - 1/2 R g = -ai''/ai³ + [ ak''/ak]/ai² = 0

-> ai''/ai = ak''/ak = Q
si je somme les 3 solutions j'ai donc Q = 3Q -> Q = 0 -> R = 0
-> ai = Ai t + Bi

obtenez vous aussi cela??? Je trouve pas que c'est une tres belle solutions...

parcontre, j'obtient bien que il ne peux pas y avoir de constante cosmologique, car si je la rajoute, je dois imposer qu'elle est nulle pour pouvoir satisfaire les équations d'einstein...;

R - 1/2 R g - g = 0
et que j'injecte R dedans...
pour satisfaire l'équation, je dois imposer =0

merci d'avance

et bien je l'ai essayer mais je trouve un ricci plus compliqué. Mais je trouve ta solution assez jolie alors je vais recommencer...

non je n'arrive pas à ton Ricci et je n'arrive pas à résoudre les équations que j'obtient en ai, dai/dt, d²ai/dt² couplées. Tu pourrais détailler un peu plus ta réponse Loïcus stp ? Et il me semble qu'il manque de facteur 1/c² dans tes dérivées temporelle.

Vincent si tu nous entand viens nous en aide... rien pour être sur des christoffel et des ricci avec ton programme mathematica, merci.

oui oui de faite, je vien de m'en rendre compte...

mais ricci sont a 1/c² pres...

je vais les recalculer pour etre sur

EDIT :

R = -1/c² ai''/ai

R = - ai ai''/c²

donc c'est bien ce que j'avais calculé a 1/c² pres...
mais ca ne change rien pour la suite du calcul, car il est partout...

je détail pour Rtt
R = R + R
R = R

R = , - , + -

(que c'est pénible les trnseur sur le forum...)

R = - , -

= 1/c ai'/ai

le 2eme terme est nul si k = t
on as des indices repetée en haut et en bas... donc sommations...
->
R = 1/c² [-ai''/ai + ai'²/ai² - ai'²/ai²] = ai''/(c²ai )

idem pour l'autre meme si il est un peu plus long

comme j'ai quand meme un doute pour mon Rii je vais quand meme noter le détails...

Rii = R
Rii = , -
le 2eme terme est nulle si k = t

= 1/c ai'/ai
=-1/c ai ai'

Rii = 1/c² [ -ai'² - ai ai'' + ai'²] = -ai ai''/c²

ok bein je recommence de mon coté! ca fera jamais que la troisième fois!!
Et ya intéret que l'on ait une heure pour chaque exo parce qu'en sprintant je mets une heure pour les equation de F-L de a à z on me trompant quelque fois...

Celà dit je ne trouve pas que ai(t)=ait+b soit bizare, car la vitesse de dilatation dépend de ai e donc que tu peux avoir des vitesse de dilatation différentes dans différente directions donc que ce n'est pas en accord avec l'isotropie d'un fluide cosmique éventuel.

oui, jsuis d'accord...

mais dans le cas ou les ai = a(t) on devrais retrouvé FL et ce n'est aps el cas...

Rtt est bien le meme
mais le Rii est différent, donc j'ai surement fait une faute dedans...
je compte sur toi :p

mais tu ne peux avoir F-L que si tu utilise la metrique de R-W. Ce que je voulais dire c'est que les exos en générale prennent un temps fou (christoffel et ricci principalement je trouve). Et il parait qu'a l'examen il peut nous de demander de dériver les equations de F-L par exemple.

ouais... ca prend plein de temp, mais en plus, tu peux trop facilement faire une petite faute, qui fait que tout ton dévelopement par la suite est faux... mais sans que tu t'en rende compte...

finalement t'as trouvé la meme chose que moi???

qu'as tu obtenu?

F-L j'arrive pas à les dériver c'est vachement trop long. La vache Philippe en une heure toi...chapeau bas mec t'es une bête...
respect !

Et au passage, y a personne qui a un truc pour calculer les F-L plus rapidemement pcq moi je calcule chaque symbole de Christoffel séparément et c'est impossible ...!

bhen moi perso je vais etudié le résultat... pcq sinon c'ets 100x trop long...

et y a trop de chance de se planter...
et pis une fois que t'as Rij c'est facile...

Et bien voilà ce que je trouve pour ce ******de truc que je laisse tomber

et

...

Sorry Gaëtan mais ... non il n'y a pas de moyen plus rapide...

lol.... t'es un fout.... t'as calculé tout les

le dingue....
lol

j'en ai calculé 4... t'as surement bon du coup
je regarde

C'est trop un calcul de fou malade...j'abandonne !
Reste plus qu'à prier...

bon alors j'ai envoié un mail à Vincent pour lui demander de calculer les christoffel et le Ricci avec son programme il m'a dit qu'il doit surveiller un exam jusqu'à 18h et qu'il ne nous promet rien. Mais bon je pense que si on se contente de dire que si les ai sont différents l'introduction d'une constante cosmologique n'est pas possible simplement parce que le ricci n'est pas multiple du delta de dirac, comme l'a dit vincent dans un post précedent.
J'ai aussi regarder dans le bouquin de Lipchitz théorie des champs" ou un truc du style et il est dit pour un cas analogue que l'on ne sait pas résoudre le problème exactement qu'il faut approximer ou je ne sais quoi. Mais bon si Vincent n'a pas l'occase de passez je laisse tomber ce truc (il y a encore pas mal de truc à faire!)

de faite j'ai fait une faute monstrueuse...

R est pas nul
il vaut (-a'²/a² + a'²)/c²

donc j'ai finalement Rii = 1/c² [ai ai'' - 3 ai'²/a² + a'²]

qui ets beaucoup plus laid...

comment ca se fait qu'il te reste du k et du j dans ton calcul de Rii?

je ne sais plus te dire ça comme ça mais je crois que celà viens du terme
mais, j'en ai trop marre de ce truc...

pardon (une somme, et puisque j'ai plusieurs de ce type ...)

soit hi = dai/dt (l'analogue de la variable d'hubble ds le cas homogène-isotrope)

A la main (il ne faut pas développer les indices spatiaux en x,y,z sinon vous devenez fous, et ca ne sert à rien)
= ai² hi (pas de somme sur i)
= hi (pas de somme sur i)

détails pour obtenir le 2e résultat:
= 1/2 g ( g , + g , - g , ) =1/(2 ai²) 2 ai dai/dt


Courage,

Vincent

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y a une petite faute a mon avis...

= 1/2 g (g0i,i + gi0,i - gii,0)
= -1/2 g gii,0 = -1/2 gii,0 = -(ai' ai)/c