P23 ex1

quelqu'un sait le faire?

J'ai fait une petite esquisse:

si (-x) = (x)

dx (x) pn(x) pm(x)

= d(-x) (-x) pn (-x) pm (-x)

= dx (x) pn (-x) pm (-x)

= cn nm

en utilisant le changement de variable y = -x . Note que dans la deuxième ligne, les bornes d'intégration sont inversées (de 1 à -1 au lieu de de -1 à 1). Dans la troisième ligne, les bornes sont retournées à -1 à 1 (car d(-x) = - dx).

En comparant la première et la troisième ligne, on conclut que

//pn(-x)//² = //pn(x)//² et que pn (-x) = +- pn(x)

Comme pn est un polynome de degré n, on sait que la parité d'un polynôme dépend de la parité de la puissance la plus élevé, c'est-à-dire ici de x^n.

Donc pn(-x) = (-1)^n pn(x)
C'est-à-dire que tous les termes de pn(x) sont de même parité que n. (S'il ne le sont pas alors il est impossible que pn(-x) = +- pn(x)).

Cet exercice est inspiré de l'exercice 2 du chapitre sur les polynômes de Legendre. Si tu vois une erreur dans ma démonstration n'hésite pas à me signaler.

lbsp a écrit:

on sait que la parité d'un polynôme dépend de la parité de la puissance la plus élevé, c'est-à-dire ici de x^n.

c'est la que je bloquais... nikel