questions theorie spectrale...

Bijour! g qq ptit questions sur ce chap.

p142, je vois pas très bien le lien entre la partie croissante du graphique et la definition correspondante.
si on prend un =1/2 par exemple. on a E( )f(x)=f(x) sur la moitié inférieure de l'intervalle et 0 sur le reste. Le fait que E( )=1/2 veut dire quoi? Que la norme de E( )f est la moitié de celle de f, qui vaut 1 ? Parce qu'avec la definition E( )=M indice , je vois pas très bien le lien... Si c'est bien la norme, je pige pas comment on a un truc croissant lineairement. Si c'est la norme, alors ça voudrait dire que le module au carré de f serait constant sur l'intervalle pour que son intégrale varie linéairemnt avec .
Bref c'est un peu flou pour moi... si quelqu'un peut m'éclairer...


autre question:
p146 je vois pas très bien comment apparait l'exp(it) dans l'intégrale au dessus de la page. A partir de A=intgrale( dE) ?

vla merci

heu....

tu vois ce que c'est E( )????

pcq E( ) c'est une somme de projecteur
tq E( ) f est la projection de f sur les sous espace de valeur propre inferieur (ou egal, a verifié) a

ce qui fait que si M est ton max()
alors E(M) = 1 (car tu projette sur tout les projecteur associé a toutes les valeurs propre, donc sur tout l'espace)
->E(M)F = F

et si m = min ( )
E( ) = Projecteur sur m
E( - ) = 0
->E( - )F = 0

(a verifier, mais c'est ca l'idée)

a la page 142 il traite le cas d'un operateur de multiplication par x, qui a donc un spectre purement continu, des lors...
E( <0 ) = 0
E( >1 ) = 1
et la fonction est continue entre les 2
E( ) = [0,1]

en esperant t'avori aidé

PS : pour la page 146 moi je dirais, que il y a exp(it) pcq c'est def a une phase pres...
d'ailleur apres, il passe a la norme... pour virer le facteur de phase... (enfin c'est mon impression...)

Je pense avoir compris tout ce que tu as mis, mais ma question de départ reste sans reponse... je vais la reformuler autrement. (comme c'est flou, les questions elles-memes le sont aussi, dsl).

il est mis que le graphique de la page 142, comme celui de la page 141, peut etre vu comme l'image de la fonction -> <f|E( )f>, ça je comprend, l'allure me semble logique, en augmentant , on tient compte chaque fois d'un projecteur en plus et on s'approche de l'operateur identité et donc de la norme de f qui vaut 1. ça je pige. tantot on a la version spectre discret, tanto la version continue ça, ça va.
Maintenant à la page 142 il compare E( ) au comportement de l'opérateur multiplication par x et il voit qu'ils se comportent exactement de la meme manière -> ils ont un spectre continu pour appartenant à [0,1] et l'opérateur multiplication par x "prend des valeurs" comprises entre 0 et 1 comme le cours le dit si bien.

Maintenant ma question qui concerne uniquement le cas compris entre 0 et 1. là on a une droite oblique qui part de (0,E(lambda)=0) à (1, E(lambda)=1). Je pige pourquoi c'est comme ça quand le prof nous dit de le voir comme la fonction -> <f|E( )f>, ça ok. Mais je vois pas le lien entre cette droit oblique et la définition p142 (E( )f)(x)=f(x) pour x< et 0 pour reste.
j'espère que c plu clair...
en tt cas merci d'essayer d'me faire piger c'truc, chui ptet qu'une cos perdue apré tout

je comprend pas trop bien ce qu'il a ecris ds le syllabus

bhen... sur le shéma en tout cas, on voit bien que
E( ) = M

parcontre le "cad" je le comprend pas trop...

sry

Citation :

Le fait que E( )=1/2 veut dire quoi?

Il n'y a pas de sens à dire que E( ) vaut un nombre : cet un projeteur. Pour moi le thm spectrale est une manière de dire que chaque opérateur autoadjoint peut se ramener à une somme (intégrale dans le cas continu) d'opérateur de multiplication ie d'opérateur qui multiplie un vecteur par une certaine valeur (comprise dans son spectre) dans un sous espace correspondant. Et la manière de faire c'est de multiplier la projection du vecteur sur le sousespace par la valeur correspondante du spectre et de tout sommer histoire de récupérer la totalité du vecteur transformer. C'est comme ça que j'interprète les expressions
A= P( ) + dE( ). Donc, pour moi les graphes ne montre en fait que les projecteurs
E( )= (0 -> ) dE(t)
sont des projecteur sur des sousespace de plus en plus grand De 0 à l'Id lorsque augmente.
Donc, E( )=1/2 n'a pas de sens mais
E( 1/2 )= projection sur ]0,1/2] en a.
Donc, si l'on considère le projecteur dE(1/2) qui sélectionne la partie de f(x) qui appartient au sousespace correspondant à la valeur x=1/2 on peut écrire cela comme
dE(1/2)f(x)=f(x) sur le sousespace et zéro ailleurs = f(x) sur un intervalle infinitésimale dx. Donc,
E( )= (0 -> )dE(t)=E( ) est tel que
E( )f(x)= f(x) sur ]0, ] et zéro ailleurs.
Deux remarques je suis sur que si un matheux tombe la dessus il va hurler mais bon... En suite ce qui je trouve perturbe le plus c'est de pensé en sous espace et en fin de compte jouer avec des intervalles de domaine. Mais alors il suffit de se rappeller que ces avec les valeur de f(x) que l'on travail et qu'un moyen d'aller sélectionner en quelque sorte ces valeurs dans ces espaces c'est précisement de de voir ce que vaut la fonction sur l'intervalle infinitésimale qui entoure x ie on va cherché la composante de f indicé par x.

Voilà ce que j'en pense... Maintenant ça peut se discuter en fin voilà dit moi si ça t'aide un peu ou si j'ai tout faut !

merci, je commence à capter mé tt n'est pas encore clair...

Philippe a écrit:

Donc, E( )=1/2 n'a pas de sens mais
E( 1/2 )= projection sur ]0,1/2] en a.

Ca, ça va.

Philippe a écrit:

Donc, si l'on considère le projecteur dE(1/2) qui sélectionne la partie de f(x) qui appartient au sousespace correspondant à la valeur x=1/2 on peut écrire cela comme...

"correspondant à la valeur x=1/2? ou =1/2 ? C'est justement le fait de parler tantot de , tantot de x qui m'embrouille.

Et puis ce que j'ai du mal à capter, c'est dE(lambda)f(x)=f(x) sur le sous-espace correspondant à lambda. Si on applique un projecteur sur le "vecteur" f(x), comment peut on obtenir tout le vecteur et pas une partie, sauf si f(x) appartient juste au sous-espace correspondant. bref, j'ai l'impression de faire un amalgame mé je vois pas très bien où et ça m'enerfff!! heeeelp!

enfin v y arriver, fo juste le temps que ça maturise...

x= dans ce cas puisque le spectre de l'opérateur en question, les , sont compris dans [0,1] et on a que
Af= f=xf.
Dans le cas discret on aurait dE( )=P( ). Donc par exemple P( ) =(0,0,v3,0,0,0,0,0). Dans le cas continu ca se complique : soit notre fonction f qui est un vecteur dans une espace de Hilbert (dim infini). Les composantes en nombre infini de ce vecteur peuvent à l'instar des composante de être indicées
par un paramètre mais maintenant il est continu, et il n'est autre que x. De sorte que la xième composante du vecteur f est f(x). Tout comme les vecteurs de dimension fini f est définit par ses composantes qui sont les valeur quelle prend en x pour x entre 0 et 1.
Donc, si je veux la yième composante de f j'applique le projecteur sur l'espace correspondant à cette "yième composante" ie dE(y). Donc lorsque j'ai écrit
dE( )f(x)=f(x) sur blablabla j'aurais peut etre du écrire
dE( )f(x)=f( ) qui correspondrait au cas discret
dE( )f(x)=(0,0,0,0,0,0,f( ),0,0,0,...)

"Works for me !" com dirè rick hunter!
merci pour ces précisions, ça m'a vachement aidé! j'pense avoir capté, une bonne nuit de sommeil pour remettre ça en ordre et demain j'avise!
a+