Question III septembre 2001

Du même style pour ceux qui n'ont pas les questions d'examens:

Considérons l'ensemble des courbes y(x), x appartenant à [0,1], y(0) = y(1) = 1.

a) Ecrivez sous la forme d'un principe variationnel le problème suivant: trouvez la courbe qui minimise la différence entre l'aire comprise entre le graphe y'(x) et l'axe des x et celle comprise entre le graphe de 4 y(x) et l'axe des x

b) Ecrivez l'équation différentielle que doit satisfaire cette courbe.

c) La solution du problème est-elle unique?

Je résolverai ce problème demain matin et j'y indiquerai ma solution cô ça, ceux qui l'ont fait pourront me dire si elle est bonne...

Bon alors, je ne sais pas du tt si ce que j'ai fait est correct alors si qqn l'a fait, qu'il me fasse part de sa réponse...

a)On a S(x) = (y' (x) - 4 y (x)) dx
On calcule les équations de Lagrange et on obtient que ça vaut 2y''(x)+8 y(x) = 0
La solution est y(x)= A cos(2 x) + B sin(2 x).
Avec les conditions initiales => A=1 et B = tout ce qu'on veut!

b) Soit h(x) = 2 y(x) sqrt(1+y' (x))
En faisant la méthode Libsp, (y', dh/dy') - h, on obtient que ça doit satisfaire l'équation -2 y(x)/sqrt(1+y' (x)) = Cste

c) Non je suppose vu que B n'est pas unique???


Voilà, je ne sais vraiment pas si c'est bon et j'ai de nouveau le problème du -2 au b)... Et c'est pas bizarre que ça doit satisfaire tjrs la même courbe? Please, help!

moi j'ai la même chose,
intuitivement j'aurais mis un plus à la place du moin entre les deux termes de l'action mais ca a pas de sens pour la suite.

point a et c j'ai la meme chose

point b, je comprend pas du tout ce que t'as fait

coment tu trouve ca ?
2:pi:y(x) sqrt(1+y'²(x)) ??????

d'habitude dnas le syllabus
S = h(x)dx
donc ici normalement h(x) = y'² - 4Pi²y²
donc, la quantitée conservée est l'integrale de painlevé
(dh/dy') * y' - h = cste

2y' - y'² + 4Pi²y² = cste

Ou alors j'ai vraiment rien compris, et j'ai vraiment bsoin qu'on m'explique.... HELP

T'en fait pas, c'est bien possible que ça soit moi qui n'ai rien compris!!! C'est vraiment pas clair dans ma tête cette histoire d'écrire une équation différentielle... QQn peut-il m'éclairer???

Question III septembre 2002, Libsp a dit:

"Pour le b), si on veut exprimer l'aire minimale sous une équation différentielle du premier ordre, on doit utiliser la note dans le cours CH6 p 13-14, (en fait l'équation de Loïc est juste, mais je ne sais pas comment il a procédé pour l'obtenir).

Soit h(x)= 2 pi y(x) sqrt(1 + y'(x)²), alors la quantité"


Alors que l'action n'est pas h(x) dx ...

C'est pr ça que je comprends plus rien!!!!

j'ai rien capté a ton message...

sinon pour le b) y a aussi la maniere brutale :

on veux minimisé l'aire ente y'² et 4pi²y²
donc, on veux minimiser la distance en chaque point entre ces 2 courbes
y'²-4pi²y² dl soit minimum
dl = sqrt(1+y')dx

(y'²-4pi²y² )sqrt(1+y')dx
(y'²sqrt(1+y')-4pi²y²sqrt(1+y')dx

h = (y'²sqrt(1+y')-4pi²y²sqrt(1+y')

dh/dy' = 2ysqrt(1+y')+y'³/sqrt(1+y')

donc
sqrt(1+y')(2yy'+4pi²y² - y'²) + y'/sqrt(1+y') = cste

qu'en pensez vous?

PS : perso, moi je pense que ma premiere maniere est beaucoup mieu (plus corecte)

Bon, je vais réécrire le message que j'ai mis plus haut en essayant d'être plus clair...

Dans l'exo III de septembre 2002, on a S(x) = ((x'(t) /2) + x(t)) dt
Et Ilbsp dit qu'il faut considérer (pour résoudre le point b) ) h(x)=2 pi y(x) sqrt(1 + y'(x)²)

Et si je suis ton raisonnement, dans ce cas, h(x) devrait être égal à ((x'(t) /2) + x(t)) or ce n'est pas ce qu'elle a écrit... Car dans l'exercice ici, tu prends pour h(x) la valeur du Lagrangien... d'où je ne comprends plus rien

C'est plus clair??

bhen oui pour l'ex de 2002 c'est nikel

mais ce n'est pas le meme probleme
dans un cas on demand ela surface de revolution minimale (voir ce que j'ai ecris a ce post)

tandis que ici, on calcul l'air minimal entre 2 courbe (pour te montré que y a un probleme... qu'est ce qu'un facteur 2 viendrait foutre dnas ce probleme )

h(x) c'est toujours l'integrant en faite....
(dans certain cas, ton intégrant c'est L, dans d'autre non... mais ca, ca dépend du probleme... tu peux pas copier/coller h(x) )

Ouais, oki, merci bcp! Jconfonds et mélange un peu tt ds ces problèmes variationnels car c'est tjrs la même chose avec un truc diféérent bref! Merci