--Tenseur et repère--

Voila,
dans le bouquin de Mécanique (L.Landau / E.Lifchitz) on dérive (via T) le tenseur d'inertie dans les coordonnées du repères lié au corps solide.
Dans mes notes (à qui je ne fait pas vraiment confiance...) on dérive (via j) le même tenseur mais dans les coordonnées du repère inertiel (e1,e2,e3). Puis plus loin dans le cours on trouve quelque part (dans une base du repère lié qui correspond aux directions principale d'inertie du solide)
T=1/2 m (I1 ²1+ I2 ²2 + I3 ²3) (1)
formule analogue que dans Mécanique. ( est le vecteur insatntané de rotation dans le repère lié)

Alors ma question est de savoir si dans (1) les Ii sont exprimé dans la base liée au solide? Il me semble mais j'ai besoin d'une confirmation...
Et si c'est le cas, c'est parce la "norme" de la matrice de rotation vaut 1.
Merci pour toute réponse...

C'était une perche qui m'était tendue, merci.

heu....

je me trompe peut etre, mais a mon avis, Ii est toujours calculé dans le repere lié, étant donné qu'il est calculé a peut etre du repere de CM...

et si jamais ce n'est pas toujours dans calculé dnas ce repere, ca devrais au moin avoir la meme valeur... sinon y a un probleme, non?
moi ca me semble byzare en tous cas

En fait je ne crois pas que dans Landau et Lipschitz on ait dérivé le tenseur d'inertie dans le repère lié au corps solide.

Je m'explique: au paragraphe 32 on a

T = mv²/2

or v² est la vitesse dans le repère inertiel (eq 31.1) et l'équation (31.2) exprime la vitesse dans le repère inertiel en fonction de la vitesse dans le repère non inertiel et de la rotation de ce repère non inertiel par rapport au repère inertiel (le vecteur est égal au vecteur du cours, sinon on doit multiplier x q par une matrice A de rotation). Mais à partir du moment où l'energie cinétique est l'énergie cinétique avec le v du repère inertiel.

Personnellement je trouve que la démonstration donnée au cours a le même raisonnement que celle donnée dans le syllabus.
Ce qui fait que ton tenseur (1) et celui donné au cours sont exactement équivalents;

Citation :

En fait je ne crois pas que dans Landau et Lipschitz on ait dérivé le tenseur d'inertie dans le repère lié au corps solide.

bon je vais peut-etre tout embrouiller, mais j'ai l'mpression que si:

on séparé T en deux parties et la deuxième partie est exprimée ds les coordonnées du repère lié au corps....

...ce qui fait qu'on arrive à une définition dutenseur d'inertei ds ces memes coordonées ....

d'ailleurs en haut de la page il y a

Citation :

la possibiliteé...deux parties...choix de l'origine du système lié au corps précisemment au centre d'inertie de celui-ci

enfin à la page 139 on fait remarquer qu'on peut toujours exprimer le tenseur ds n'importe quel repère lié , et à aucun moment on ne parle de repères galileens

enfin, ca n'engage que moi mais si on avait pu écrire le tenseur ds le repère galileen, on se serait peut-etre pas amusé à passer ds le repère lié

et puis le fait qu'on l'appelle tenseur d'inertie me fait penser qu'on doit l'exprimer ds le repère ou le corps est au repos...

désolée si je viens d'écrire des monstruosités....

je pense comme rose-marie

Et bien je suis d'accord aussi avec ce que dit Rose-Marie. Et au vu de ta réponse LBSP je dirai qu'au moins dans le cours on a exprimé le tenseur dans le repère inertiel.
Mais quand tu dit que = je ne suis pas d'accord :
le du cours est bien le vecteur instantané de rotation dans le repère (e1,e2,e3), le repère inertiel. Or, comme tu le dit v = V + x r, c'est à dire que et r sont exprimé dans le même repère, le repère lié, sinon celà n'aurait aucun sens.
Ce qui me fait penser que ce que j'explique dans mon premier post est que ( le prime exprime la dérivée par rapport au temps)
j = m r x r' et r'=A( x q)= x r , r =Aq et que donc on peut exprimer j et donc I soit dans le repère inertiel soit dans le repère lié (il en est de même pour T). Seulement c'est cette matrice A qui disparait quelque part qui me dérange. Mais je me dit que puisque l'expression finale dans l'un comme dans l'autre des repères fait intervenir des produits scalaires et que A les laisse invariants A disparait logiquement à cet endroit puisque AA =Id. Quand dites vous?

Le 24

Je crois plutôt que vous n'avez pas compris ce que j'avais dit.

En fait l'équation du tenseur dérivé au cours est fait quasiment de la même manière que l'équation dérivé dans le bouquin.

D'abord, comme je vois que le gars qui t'a donné les photoc n'a peut-être pas noté, l'équation 31.2 n'est valable que dans le cas des corps solides:

En tant normal, si q désigne les coordonnées du corps dans le repère lié au corps en rotation d'un vecteur de vitesse angulaire exprimé dans son repère et r les coordonnées du corps dans le repère inertiel et où le vecteur vitesse angulaire exprimé dans ce repère est ,
on a

v = :dsurdt:q + A(t) ( x q) + p(t) où A(t) est la matrice de rotation pour les changement des vecteurs de base des 2 repères, et p(t) est le vecteur reliant les origines des 2 repères, exprimé dans la base du repère inertiel.

Or dans un corps solide, :dsurdt:q = 0 et si on prend pour origine le centre d'inertie du corps rigide, on obtient

v = A(t) ( x q) + p(t) = x r' + p(t)

car A ( x q) = A x Aq = x r' (où r'= r-p est le vecteur reliant le centre d'inertie du corps à ce point)

de là on retrouve la formule 31.2 du livre avec r'=r et p(t) = V

Mais comme tu le dis Phillipe, dans l'un comme dans l'autre, on fait intervenir les produits scalaire pour exprimer ce tenseur d'inertie pour lesquels A les laisse invariants et donc le tenseur d'inertie ne dépend pas du repère dans lequel il est exprimé mais dépend plutôt de l'oriqine par rapport auquelle on l'évalue (cfr thm des axes parallèles et thm des axes perpendiculaires. Si on ne s'en souviens plus cfr cours phys de Govaerts CH14 1ère candi). Et donc il faut que l'origine du tenseur d'inertie se situe au centre d'inertie pour qu'on puisse avoir pleinement son expression.

Cependant quand on exprime le vecteur vitesse dans une base en fonction d'une autre base, je considère que l'équation de cette vitesse est donnée en fonction de la première. C'était mon point de vue et cela vous a peut-être embrouillé. Excusez-moi.

PS: En dérivant mon équation ci-dessus, je viens de me rendre compte que cela n'a aucune importance de savoir si le v est exprimé dans le repère inertiel ou dans le repère lié, on arrive à la même conclusion et la formule même peut prêter à confusion.
PPS: attention à la grosse faute d'orthographe

Philippe a écrit:

Quand dites-vous?

Damien t'a attaqué pour ça.