O.H 3D: les valeurs possibles de l dans le niveau En (idée)

Bonjour!

Voilà, j'avais mardi passé, après le dernier TP de quantique, réfléchi au moyen de trouver les valeurs possibles de l dans un oscillateur harmonique 3D pour N=n1+n2+n3 donné.

En fait, j'ai trouvé le truc, mais je ne sais pas si la méthode est correcte.

La fonction d'onde N = [produit de 3 polynôme d'Hermite d'ordre ni (i=1,2,3)]f(r)

Comme le produit de ces 3 polynôme est un polynôme d'ordre N, je me suis alors demandée si les cas diffèrent selon que N est impair ou pair.

Etant donné qu'on peut réexprimer N en fonction des harmoniques sphériques et que Lz = -i d/d:phi:. Je me suis alors dit que les polynôme d'hermites ne peuvent donner que des l pairs quand ils sont pairs et que des l impairs quand ils sont impairs.

En effet, en regardant les Hn(x) dans les tables, j'ai remarqué qu'ils ont toujours des termes x^2l ou x^2l+1 c'est-à-dire des termes en x de même parité à chaque fois. Alors, en faisant le produit des 3 polynômes, on obtiendrait toujours des termes en puissances de x ... x :ej de telle sorte de i+j soit toujours de même parité (pair ou impair) dans le polynôme. Et ainsi, les valeurs de l sont soit pairs, soit impairs, avec toujours pour valeur maximale le nombre N (qui est soit pair soit impair selon le cas).
Donc l = N, N-2,....2,0 si N pair
ou l = N, N-2, ....., 3,1 si N impair

Mais pour justifier cela plus rigoureusement, c'est là que je bloque (enfin je bloque c'est normal on est en blocus, mais là je suis vraiment bloquée, vous voyez ce que je veux dire). Aussi je voudrais avoir quelques éclaircissements de la part de ceux qui auraient fait la même chose que moi.

honnetement, j'en sais vraiment rien... :s

je me demande si ce n'est pas simplement une question d'independance de la base...?

car Y1 peut etre ecris comme un combili de Y0 et Y2 normalement...(je pense...lol)

Je suis d'accord avec l'argument proposé. Sous parité, un polynôme de Hermite de degré n est pair si n est pair et est impair si n est impair. De même, une harmonique sphérique d'ordre l est paire si l est pair et impaire si l est impair. Donc au niveau N de l'oscillateur harmonique à trois dimensions, seule les harmoniques sphériques de l pair (impair) peuvent apparaître si N est pair (impair).

Malheureusement, parmi toutes ces harmoniques sphériques paires ou impaires, il reste à choisir lesquelles apparaissent et avec quelle multiplicité dans chaque niveau. Plusieurs indices :
- Si une harmonique d'ordre l apparaît, toutes les harmoniques de meme l mais de m différent doivent apparaître car elles se transforment les unes en les autres sous les rotations, qui doivent laisser chaque niveau d'énergie invariant car l'hamiltonien est lui-même invariant sous rotation.
- Les harmoniques d'ordre l=N apparaissent certainement, et celles d'ordre l > N certainement pas. En effet, l'état (N,0,0) laisse apparaître un (cos(phi))^N, c'est-à-dire des (exp(i phi))^N ou (exp(i phi))^-N, et aucun autre état ne laisse apparaître d'exponentielle de (i phi) avec un exposant plus élevé.
- Le nombre total d'harmoniques doit être égal à la dégénérescence du niveau, soit (N+1)(N+2)/2 (à calculer au premier point).

Une solution est de choisir une et une seule fois toutes les harmoniques d'ordre l= N, N-2, ..., 1 ou 0, comme proposé. Cette solution vérifie je pense tous les indices proposés. Reste à prouver que c'est la bonne. Et là, je n'ai pas d'idée...

Finalement Y1 ne peut pas s'écrire comme combili de Y0 et Y2, car les harmoniques sphériques sont linéairement indépendantes, et je ne sais pas ce que veut dire "indépendance de base".

ha oui...

d'office j'ai dis une connerie la...

Après la décroissance universelle, c'est l'indépendance de la base, ça se voit que tu est en blocus loïcus.

Un grand merci pour les explications de Florian à mon sujet.
En fait dans le syllabus de MQ, lj'ai lu que les valeurs de l sont les mêmes que ceux que j'ai proposé pour un oscillateur harmonique de dimension 2. Je me demande si cela s'applique aussi en dimension 3.

Je pense qu'avec tous les combinaisons des produits des 3 polynômes d'Hermites, on peut obtenir tous les valeurs de L=N, N-2, ...,1 ou 0.

Par exemple, soit Hn le polynôme d'hermite d'ordre n, et prenons N=n1+n2+n3=3 et combinaisons de Hn possibles sont

H1H1H1 de multiplicité 1. En faisant les calculs, on obtient un polynôme de degré 3 en xyz seulement.

H2H1 de multiplicité 6. On obtient après calculs des termes en (x )²x ainsi que des termes en x

H3 de multiplicité 3. On a évidemment des termes en (x )³ et en x .

Si on fait les combinaisons avec les fonctions correspondant à ces bases on peut mettre en évidence à chaque fois des harmoniques sphériques correspondant à l=3 ou 1 .Et donc les valeurs pour l ici sont 3 et 1.

Mais c'est vrai que pour démontrer mathématiquement tout cela, je n'ai pas vraiment d'idée non plus.

La réponse à la deuxième partie de la quatrième question de l'examen est bien celle proposée ci-dessus, soit l = N, N-2, ... , 1 ou 0. La preuve se trouve par exemple dans

Bransden et Joachain, "Introduction to Quantum Mechanics",

p 347 et suivantes. Elle consiste à résoudre l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques, ce qui me semble au-dessus du niveau du cours (vous le ferez l'année prochaine pour l'atome d'hydrogène).

Je pense que Weyers voulais que vous "deviniez" la réponse par des arguments tels que ceux proposés ci-dessus, qui sont à votre portée.
Mais ce n'est qu'un avis...