vecteurs de base de Dlj

Si j'ai bien compris, les Dl sont une représentation de dimension 2l+1, donc des matrices S3 de dimension 2l+1.
On dit, p 303 première ligne, que les |lj mj> sont les vecteurs de base de la représentation Dlj. C'est là que je décroche, je ne vois pas ce que sont les vecteurs de base d'une matrice... Donc je dois avoir mal compris quelque chose, mais quoi?
J'espère que quelqu'un a compris ce passage
Il y a les exemples de D1/2 et D1 p 298, si c'est plus facile pour expliquer...

moi aussi j'ai pas tout compris entre les Dl et les |l,m>
ca sert à quoi de calculer le produit tensoriel de D1 et D2 par exemple.

les |l,m> c'est peut être comme les harmoniques sphériques
et par exemple pour l=2 on a 5 vecteurs m=2 1 0 -1 -2 et alors on en fait une matrice (par forcément diagonale) que si on la diagonalise on retrouve les valeurs propres???????????

j'espère ne t'avoir pas trop embrouillé!!!
corriger moi si je pense faux... (ce qui est surement le cas)
ce cours manque cruellement d'exemples CONCRETS

Benjamin a écrit:

les |l,m> c'est peut être comme les harmoniques sphériques
et par exemple pour l=2 on a 5 vecteurs m=2 1 0 -1 -2

pour ca, je suis complètement d'accord avec toi, on a définit en fait, -l<=m<=l.

Citation :

et alors on en fait une matrice (par forcément diagonale) que si on la diagonalise on retrouve les valeurs propres???????????

ca part contre, ça ne me dit rien du tout... Comment tu la fais ta matrice?

En fait, on voit, p 198, que les {um} sont la base canonique de la représentation Dl. Donc je dirais que ça devrait avoir un rapport avec les vecteurs de base|l,m>.

je comprend plus rien, si les {um} sont les base canoniques de Dl et que les |l,m> sont aussi les vecteurs de bases de Dl alors forcément c'est base sont combili l'une de l'autre.
On fait comment pour passer de l'une à l'autre ??
C'est peut etre les mêmes car parfois on voit dans le cours :
L3(|l,m>)=m|l,m>).

bon je vais arrêter de t'embrouiller...

lol non tu ne m'embrouilles pas, au contraire.
Je crois que tu as raison, ce doit être fort similaire parce que :
p 298
S3 um = m um
p 303
L3 (1) |l1,m1> < m1 |l1,m1>

Sauf que je n'ai pas trouvé ce qu'était exactement le générateur L3, si il a un rapport avec S3.
Et je n'ai pas non plus compris pourquoi on fait le produit tensoriel des Dl...

Citation :

Sauf que je n'ai pas trouvé ce qu'était exactement le générateur L3, si il a un rapport avec S3.

Je m'étais même par rendu compte qu'il avait changé S par L. (ca pue le moment angulaire orbital et le spin alors).
Je sais pas ce que ca veut dire non plus. tout tombe du ciel...
pour le produit tensoriel des Dl j'aimerais bien savoir aussi...

je n'ai pas encore relu toute cette partie la...

donc, il y aura surement pas mal de faute dans ce que je vasi dire, mais on ne sais jamais ca vx peut etre quand meme vous eclairé un peu...

on essaye de transformé la belle grande matrice en matrice block diagonal. Des lors, il y a des vecteur de base | l,m > (d'une certaien base telque l'ont ai cette décomposition en block)

mais il exciste aussi la base um (mais dans cette base la, la matrice n'as pas la propriété voulue)

voila peut etre que cela vous éclaire un peu

PS : j'ai déja eu une petite conversation l'année dernièere avec saji sur le décomposition par block... (c'est un chapitre qui avait été surprimé de notre cours d'algèbre) Et je sais que il existe uen méthode pour diagonalisé en block : cette méthode s'apelle la méthode des block de jordan (peut etre qu'une recherche sur google permeterias d'y voir un peu plus clair)

loic

Citation :

on essaye de transformé la belle grande matrice en matrice block diagonal.

La belle grosse matrice c'est laquelle S3? parce quelle est déja diagonale.

sinon pour le reste ca du sens.

oui, je dirais S3

lol...

de faite, elle est déja diagonale

ca serais t'etre bien alors S1xS2xS3 (x c'est le produit machin entre groupe)

sais pas tres bien

oki, ça m'éclaire un peu
En fait, S3 n'est qu'un opérateur sur la représentation Dl, c'est ce que je pense (pour le moment). Et donc, j'aurais tendance à penser que ce qu'on cherche, c'est bien une représentation par blocks des Dl, comme le dit Loïc...

j'ai peut être trouvé un truc interresant, j'ai pas eu le temps de
le potasser vraiment

http://www.chez.com/touslescours/

puis aller sur Tous les cours--physique--Mécanique Quantique (Bac+4)--1.7 Addition des moments cinétiques

J'ai pondu un truc sur les Dl et les coefficiants de Clebsch Gordan
Si vous avez le courage ce serai cool que vous d'en faire la critique parce que j'y vais fort au bluf (comme dirais Loïc)

Bonne lecture

http://img274.echo.cx/img274/5407/file00012ue.jpg

Sympa le lien, ça a l'air intéressant.
Je regarderai ça ce soir, comme ton "coup de bluff"

alors pour ce que tu as écrit... ça m'a l'air un peu bizarre à partir de "truc compliqué" parce que je ne vois pas comment un produit tensoriel de deux matrices (2 tenseurs d'ordre 2) peuvent te donner une autre matrice... J'aurais plutôt dit que ça donnait un tenseur d'ordre 4.
Et donc pour la suite, je n'ai pas trop suivit ^^
Mais pour ce que j'ai lu avant, j'ai rien vu d'hyper louche

en fait ca fait bien un tenseur d'ordre 4 mais on le décompose en bloc.
C'est clair que c'est par très clair, faudrait un professionel pour nous sortir du trou.

Je partage à fond ton avis Benjamin. Clebsch-Gordan j'ai calé que dalle. Si quelqu'un a une l'ombre d'une idée pour calculer ces maudits coefficients, qu'il le fasse savoir !! J'en ferai de même...

ok pour calculer les coefficient...

y a 2 truc... d'abord pour les '1' dnas les coins...

c'est parceque c'est le seul moyen d'avoir
|1,1> c'est |1/2,1/2> X |1/2,1/2> (m=m1+m2 <->1=1/2+1/2)
idem pour l'autre
|1,-1> c'est |1/2,-1/2> X |1/2,-1/2> (m=m1+m2 <->-1=-1/2+-1/2)

alors on sais qu'il y a des 0 partout sauf dans le caré centrale, car la somme des carée des composante des ligne doit valoir 1
et la somme des carré des composant des colones doit valoir 1

donc il reste le carré central a determiner
et on a toujours m=m1+m2
0=1/2-1/2 ou -1/2+1/2
et on sait que la somme des ..... dois etre egale a 1
donc on aura forcement racine(1/2)
avec des signe +-... et les signes sont une questions de convention, on ne peut pas les déterminer!

voila j'espere que c'est ok..

PS : moi je me susi fait 127 page de ptm today, j'en peux plus...
lol jme suis fait tte la partie de antoine aujourd'hui, sur la fin j'avais les yeux qui piquait

Hello.
Voilà comment je vois les choses :
une transformation est une application (homo.) de G, un groupe de tranfo, vers un espace vectoriel V, plus précisément vers ses opérateurs.

Or, il existe un isomorphisme entre les applications de V dans V et les matrices nxn. Donc la transfo T fait correspondre à un élément de G une matrice.

Et ces matrices, peuvent être diagonalisée si on prend comme bases de V les vecteurs propres de l'application représentée par la matirce en question (ex. S3). En l'occurence ces vecteurs propres sont les |l,m>.

Une fois que l'on a nos représentation rien ne nous empêche de prendre des produits tensoriels de ces rep. T1xT2. Et comme montré dans le cours, à ce produit ( cette autre rep ) correspond des vecteur propres |l,m>x|l',m'> de valeur propre m+m' qui si on les considère comme formant une base de V1xV2 permettent de diagonaliser la matrice d'ordre (2l+1)(2l'+1) représentant T1xT2 ou |l,m> et |l',m'> sont respectivement les vecteurs porpres de T1 et T2 .

Et on peut passer de cette matrice à une autre suivant la décomposition de Clebsch-Gordan par un changement de base. Ce changement de base est présisement déterminer par les coefficients de Clebsch-Gordan puisque |l,m>=sum(m1,m2) (cl(l1l2m1m2|lm) |l1m1>x|l2m2> et sa réciproque. Et les deux matrices ont la même taille! (2l1+1)(2l2+1)x(2l1+1)(2l2+1) puisque m=m1+m2 et l=l1+l2. Et la matrice change de forme (diag->diagparbloque) puisque l'on change de base...

Il faut aussi remarquer qu'aucune contrainte n'est faite sur la dimension de V (espace des rep). Pourquoi? Parce que chercher une rep d'un groupe, c'est chercher une rep de son algèbre de Lie pour ensuite en prendre l'exponentielle. Autrement dit (cfr pages 294) il faut trouver des matrices hermitiennes (donc auto adjointes-> existence d'une base de vecteurs propres (cf thm spectral)) qui vérifie certaine relations (les relation de cummutations des générateurs infinitésimaux). Mais cela n'impose pas une dimention spéciale! On veut juste qu'elle soit finie.

Mais partout dans le cours on utilise les rep avant de les définirs : tout les générateurs que l'on a calculé on les a calculé a partir de rep (matrices). On nous parle de rep de dim 2l+1 où l est le nombre maximal de valeur propres de S3 mais on ne nous dit pas comment elle arrivent, comment on les déterminent.
C'est peut-être pour ça que Weyers nous en a parler... Comme le dit la définition il faut trouver un triplet, dans le cas de SO(3) et SU(2), de matrices satisfaisant les relations de commutations et miracle ce n'est quand quantique que l'on a trouvé des opérateurs qui satisfont au même relations de commutations, et qui a forciori nous fournisse une représentation du groupe SO(3) et SU(2) : le moment angulaire et le spin. Qui en fait correspondent à des l paires et impaires respectivement.
(ce qui est génial je trouve c'est que ces précisément le moment angulaire qui provoque la rotation...)
Voilà merci à ceux qui auront lu toute cette tartine qui j'espère est claire, éclaire et plus encore est proche de la vérité...
Toute critique est la bien venue parce que je passé plusieurs heures horrible à y pensé

Philippe a écrit:

C'est peut-être pour ça que Weyers nous en a parler... Comme le dit la définition il faut trouver un triplet, dans le cas de SO(3) et SU(2), de matrices satisfaisant les relations de commutations et miracle ce n'est quand quantique que l'on a trouvé des opérateurs qui satisfont au même relations de commutations, et qui a forciori nous fournisse une représentation du groupe SO(3) et SU(2) : le moment angulaire et le spin. Qui en fait correspondent à des l paires et impaires respectivement.

heu... c'est pas l entier et demi entier respectivement plutot?

2l+1 impaire et 2l+1 paire respectivement

loic

juste. Autant pour moi.

Mis à part la petite correction de Loïc, j'ai vraiment rien à rajouter. Tout est claire comme du cristal... .
Merci beaucoup Philippe pour cette brillante explication qui, je crois, va en aider plus d'un...(et j'en fait partie...)

Moi aussi je dis merci beaucoup !
J'ai déjà lu 2 fois cette partie en essayant de comprendre, mais après ces messages, le brouillard commence à se lever

d'office moi aussi

parcontre... il faudra encore pas mal bosser pour que le brouillard sois totalement le vé

Moi quand j'aurai un peu plus de temps, je lirai ce que vous avez pondu.