Entropie fonction concave de ses arguments

Dans pas mal d'examens, cette question revient...

Pourquoi l'entropie est-elle une fonction concave de ses arguments ?

Je pense qu'on avait discuté de ça au premier TP, mais j'ai dû oublier d'en prendre note

Qqn se souvient de qques arguments ?

On a discuté de ce problème dans un TP aux alentours de la moitié de l'année. Dans l'exercice, on demandait de prouver que la dérivée seconde de l'entropie par rapport à l'énergie était négative (c'est à dire que la fonction est concave, donc).

Dans cet exercice, on utilisait le fait que cette dérivée seconde était en fait, à une constante près, la variance/écart-type de l'énergie moyenne , et que les variances sont toujours positives.

Augustin

nickel....

clair comme du cristal...

ok, j'ai retrouvé l'exercice en question, mais après 1h de calculs...ben je ne trouve rien de très concluant.

J'ai enfin trouvé comment passer de d² ln Z / d ² à d²S/dE² mais pas à l'exprimer comme l'écart-type.

d² ln Z / d ² = - d <E> / d

= -1/2 [ <E> ] [ d/d <E²> - d/d var(E) ]

mais je vois pas comment continuer

on peut aussi utiliser la définition de dérivée, mais là encore, je vois plus comment continuer.

Je ne pense pas qu'il faille utiliser d'autres définition de variances (intégrale etc.), mais je peux me tromper...

Et dernièrement la variance de <E> n'est-elle pas nulle ?
var<E> = < <E>² > - <E>² = <E>² - <E>² = 0

Je suppose que ça doit être tout con, mais je ne vois pas

[quote="Sophie"]var<E> = < <E>² > - <E>² = <E>² - <E>² = 0
quote]
c'est surement une faute de frappe, mais c'est plutot ca :

var<E> = < E² > - <E>²

heu non, < E² > - <E>² c'est var E (selon les notes de cours de stat)...

oui de faite...
excuse moi, j'avais mal lu

En fin de compte, personne n'a réussi cet exercice ou bien c'est moi qui suis toute seule

J'ai scanné une correction de cet exercice.

http://www.fyma.ucl.ac.be/~demaere/augustin001.pdf

Voilà, bon travail !

A.

je vois pas pouquoi on peux dire que la variance - pi Ei² <= 0
c'est surement débil.. mais je vois pas trop

Attention, pour faire apparaitre la variance, il faut prendre les deux termes.

Si tu ne vois pas que c'est une variance, un peu de calcul brute force devrait te permettre d'obtenir le résultat
( pi ei )²
- pi ei² = ( pi ei ) ( pj ej ) - ( pi ei²) ( pj)
= ( pi ei ) ( pj ej ) - ( pi ei²) ( pj)
= pi pj (ei ej - ei²)
= pi pj (ei ej - ei² - ej² )
= pi pj (2 ei ej - ei² - ej² )
= - pi pj (ei - ej )² <= 0
Car les pi, et les carrés sont toujours positifs ou nuls.

Voilà, j'espère que c'était clair.


A.

C'était impecc

J'avais vraiment pas pensé à utiliser cette forme pour E

En tout cas, merci beaucoup

nikel pour moi aussi

merci

il est génial cet assistant !