fonction de partition des statistiques (FD-BE-MB)

Pour arriver aux formules qui expriment les statistiques de fermi-dirac, etc... on utilise Z grand canonique.

Dans cette expression, on n'a pas les factorielles 1/n! etc. qui interviennent pour résoudre le paradoxe de Gibbs. (dans le cours, on avait une expression de Z can. avec des factorielles)

Pourquoi ? L'énergie diffère-t-elle sous l'échange de particules de même énergie ??? Je pensais qu'il ne fallait pas les mettre uniquement lorsqu'on considérait des particules fixées, comme une chaine. Mais ici, on a bien un gaz...

Je vais te donner une réponse courte. Si cela ne suffit pas, on pourra essayer d'aller plus dans le détail.

Dans le cadre du paradoxe de Gibbs, le N! apparait parce que tu comptes trop d'états: tu différencies le cas 'particule 1 dans l'état d'énergie 1 et particule 2 dans l'état d'énergie 2' du cas 'particule 1 dans l'état d'énergie 2 et particule 2 dans l'état d'énergie 1', alors que cette différence n'existe pas, puisque tes particules sont indistingables. En fait, tu peux te rendre compte qu'en prenant le tu comptes N! fois trop chaque état, d'où la nécessité de diviser par le N!.

Z = _{états} exp( - E(état) ) = Zsp^N / N!

Dans le cas de BE ou FD, tu ne parles plus en termes de particules, mais de nombre d'occupation d'un état d'énergie donné. Ainsi, l'exemple donné plus haut devient 'le nombre d'occupation de l'état d'énergie 1 est égal à 1 et le nombre d'occupation de l'état d'énergie 2 est aussi égal à 1'. Cet état est bien compté une seule fois, donc pas besoin de faire revenir un N!.

Voilà, j'espère que c'est plus ou moins clair, ce n'est vraiment pas facile à expliquer brièvement par écrit.

Augustin

oui oui, c'est clair. Je pense avoir compris pourquoi quand on parle d'occupation, on ne doit pas mettre de facteur, mais alors il y a un truc qui me chiffone :

Dans le cours, j'ai également un Z (canonique) (où nk est le nombre d'occupation de l'état k) qui est multiplié par 1 / N! ET par N! / nk !

Il avait pris un exemple k=1,2 -> (1 1 2 1 2 2 2 ... ) et j'ai noté que le nombre de 1 ou 2 est donné, d'où le terme N! / nk !

Ca a l'air de parler de nombre d'occupation et pourtant, la notation (1 1 2 1 2 2 2 ... ) et les coefficients ont l'air de dire qu'on parle bien de particules.

Comment sait-on à quel cas on a affaire ?

(Et merci beaucoup )

Je dois dire que ce truc m'a chiffonner aussi...

Et d'ailleurs, ca vient de me refaire tilt, dans la statistique de maxwell boltzman, on met bien ces coefficients là pour avoir le résultat, ceux qu'on ne met pas dans les statistiques FD et BE.

En fait, au départ je pensais que c'était une histoire de classique ou quantique...

J'ai l'impression que tu te contre dit Sophie.
C'est bien parce que l'on parle de système quantique que l'on ne prend plus en compte le nombre de manières de répartir N particules parmis les k différents états d'énergie ek qui sont occupés nk fois chacun, puisque la donné des nk définit un et un seul états quantique (voir le cour page 461) Donc, si dans les statistiques quantiques de B-E et F-D la mutinomiale n'apparait pas c'est parce que l'on parle d'état quantique et non d'un système de N particules.
La distribution de M-B étant une distribution classique où l'on parle en terme de N particules la multinomiale apparaît. Et le paradoxe de Gibbs qui est résolut en introduisant le N! n'a plus de sens si on ne parle plus en terme de N particules, i.e. si on utilise des statistiques quantiques.

Ok, je crois que c'est clair maintenant !
Merci merci

Comme quoi, Phil mérite bien son "titre" de "doctorant en physique quantique", il mérite de le garder.

En fait, quand on parle d'états classiques, ils diffèrent si on permute 2 particules et donc la correction de Gibbs vient du fait que la fonction de partition canonique est calculée par la somme sur les états classiques mais qu'il n'y a pas lieu de différencier 2 états qui diffèrent d'une permutation de 2 particules étant donné que les particules sont identiques.

Par contre, un état quantique est défini modulo une permutation et 2 configurations qui ne diffèrent que par une permutation définissent le même état quantique...

Est-ce que j'ai bien pigé ???

pour moi oui, c'est comme ça que j'ai compris l'affaire...

C'est ce que j'ai compris également

Gaëtan a écrit:

Par contre, un état quantique est défini modulo une permutation et 2 configurations qui ne diffèrent que par une permutation définissent le même état quantique...

si j'ai bien suivi, les états quantiques sont définis par les nombre d'occupation n_k (que l'on peut associés à des oscillateurs) mais alors je vois pas vraiment par permuter des "nombres d'occupation" ? Fin, disons que je ne vois pas pq tu parles encore de permutation avec les étars quantiques ?

Ce que le voulais juste dire, c'est que lorsqu'on utilise une statistique quantique, on parle d'états quantiques et pas d'états dans le sens "configuration". Un état quantique est invariant sous toutes les permtations des particules quantiques entre elles. Ainsi, il ne faudra pas utiliser de correction de Gibbs pour les statistiques quantiques du type FD et BE par contre, il faudra le faire pour la stat classique de MB.