opérateur transformée de FOURIER

qqun sait dire s'il est
-borné??
-compact??
-autoadjoint??
-isométrique??
-si son spectre est continu??
-et surtout pourquoi??

merci...

borné; oui pcq spectre borné
compact: non on l'a démontré aux tp
autoadjoint: non mais unitaire ( à verifier )
isométrique: oui par plancherel
spectre 1,-1,i,-i de dégénerscence infinie

si tu veux je te refais la/les demo, dis moi lesquelles

pour "non compact", vous avez fait comment aux tp ? (en gros...)

t'es sure qu'il est pas compact????

il me semble avoir vu quelque part
spectre ponctuel <---> operateur compact....

PS : il est bien unitaire... -> isometrie

il est pas compact je confirme...

c'est juste compact----> spectre ponctuel, je pense...

loicus a écrit:

t'es sure qu'il est pas compact????

il me semble avoir vu quelque part
spectre ponctuel <---> operateur compact....

on peut très bien avoir un opérateur non borné avec un spectre ponctuel (opérateur à résolvant compact), si pas borné... pas compact...si pas compact... pas compact! (cfr asterix...

Pour montrer qu'il est pas compact, tu supposes qu'il est compact et tu vois que si une suite est faiblement convergente, ça implique qu'elle est fortement convergente, ce qui est absurde donc l'hypothèse est incorrecte...

ok merci

j'ai pas compris pour le non compact.. si on pouvait rééxplqué une fois pour le petite eli se serai gentil!
merci

merci bcp!

moi, c'est le spectre 1;-1;i;-i...
cmt on trouve ça???

et dégénérescence infini veut dire que c'est continu??

encore merci...

non compact en détail:

fn converge faiblement vers f
on suppose F compact
F fn cenverge fortement vers F f
norme ( F fn - F f ) tend vers 0
plancherel : norme ( F fn - F f ) = norme ( fn - f )
donc fn converge fortement vers f par défition de la conv forte
donc contradiction et F non compact

valeurs propres:

se référer aux pages 45-46 : pour démontrer le thm de plancherel on avait besoin de savoir quel étaient les vecteurs et valeurs propres de F, comme il se trouvent que ce qont les fonctions d'hermite, il consid!ère qu c'est une application mathématique des polynomes d'hermite....( je trouve la dém un peu tordue mais elle est correcte, c'est juste que je saurais pas la refaire sans me planter quelque part si il la demande et j'ai plein de gribouillis donc ca il l'a bel et bien vu...)

roxane a écrit:

dégénérescence infini veut dire que c'est continu??

ça veut juste dire que t'as une infinité de fonctions propres pour chaque valeur propre, les fonctions propres sont les phi_n où n=0,1... jusqu'à l'infini et à chacune d'elle est associée la valeur propre (-i)^n.

donc à 1 sont associées les fonctions propres phi_0, phi_4, phi_8 etc...,
à -i sont associées les fonctions propres phi_1, phi_5, phi_9 etc...
à -1 sont associées les fonctions propres phi_2, phi_6, phi_10, etc...
et à i sont associées les fonctions propres phi_3, phi_7, phi_11 etc...

merci jfcp!

benjamin, tu as dit que l'op de Fourier étai borné pcq son spectre est borné... j'en conclue dc que son spectre est continu... c'est correct??

et cmt on voit que son spectre est borné?? tu peu donné le num de la page si c'est ds le syllabus...

merci à tous...vous êtes trop forts!!

bhen non...

son spectre est discret, il vaut +-1 +-i

pour montrer que A est borné, tu peux le faire par plancherelle
||F|| = sup ||Ff||/||f|| = ||f||/||f|| = 1

mais tu peux aussi voir que
||F|| = sup||Ff||/||f|| = |{+-1 +-i}|² = 1

donc ce que disait benja avait du sens aussi...
c'ets la meme chose

... et moi, suis trop nulle...

oki, merci!! C compris...

Pour ceux que le fait que Fourier n'est pas compact n'est pas assez clair, rappellez-vous que

si en est une base, elle converge faiblement vers 0.

A est compact si elle transforme en en une suite fortement convergente

Si nous prenons les fonctions d'Hermite n comme base, alors

F n = (-i)^n n

Comme :phi:n ne converge pas fortement, (-i)^n n non plus. Donc F n'est pas compact.

Et F est unitaire car il est isométrique "dans les 2 sens", par Plancherel.