3eme lois de kepler

autre tuyau donné par l'assistant, la generalisation de la 3eme lois de kepler au trou noir...

hors je ne vois pas du tout comment on arrive a la déduire...
meme dans le cas non relativiste...
dans le cours il y a ecris, qu'on la trouve par invariance du
lagrangien sous changement d'echelle (méthode obscure qu'on as quasi
jamais utilisé)

donc je me demande si il n'y a pas une autre méthode, pcq ca me semble assez foireux par changement d'echelle

merci d'avance

3e loi de Kepler: relation entre la période de rotation T et le rayon de l'orbite (ciruclaire) r0

2pi/T = d /dt = (d /ds) / (dt/ds) = J/E A²c²/r0²

reste à exprimer les 2 intégrales premières du mouvement E et J en fonction de r0

-orbite stable/instable => dEp/du = 0
-introduire la solution de l'orbite circulaire (u=u0) dans l'équation du second ordre pour u

2pi/T = d /dt = (dphi /ds) / (dt/ds)

ca je comprend, mais je comprend pas comment vous arrivez a leur donner une valeur...

ds l'exercice qu'on a fait sur les trous noirs, vous aviez déja donné une relation du genre, mais je ne vois pas d'ou elle vient

A²c² (dt/ds)² - B²(dr/ds)² - r² (dphi/ds)² = 1 ou 0 en fonction du cas massif ou photon

et vous nous avez donné
E = A²m² dt/ds pourquoi? (pas sur d'avoir bien recopié, pcq jvois pas d'ou vien le m)
J = r² dphi/ds

encore merci

cf. séances d'exercices (relation entre J et dphi/ds (ou dphi/d s'il la particule considérée est un photon)

bhen... justement je comprend pas d'ou vienne ces relations...

pour on trouve J car dL/d = 0
-> dL/dphi' = 0 (' = d/dt)
-> on trouve une relation en dphi/dt

et E = q' * dL/dq' - L -> (mais on as pas de relation en dt/d )

mais dans le cas de la lumiere..., on as pas de L
et on doit résoudre les equations de mouvement pour l'action generalisée...

ou je vois pas comment faire en tout cas...

sinon dans le cas massique, je trouve
J = mB²r² '/ (A²-B²r'²/c²)

donc dphi/dt = J(A²-B²r'²/c²)/mB²r² = 2pi/T

-> T = 2pi mB²r²/J(A²-B²r'²/c²)
que je dois surement pouvoir réxeprimer en terme de E... pour alleger un peu l'expression

jsuis completement a coté de la plaque ou bien c'est correcte?
pour le cas de la lumiere, est ce que tu peu reexpliquer une méthode pour trouver E et J, sans résoudre les équations (obtenue en appliquant le principe d emoindre action sur l'action généralisée)

encore merci

j'ai essayé dans le cas keplerien...
L = T - V avec V = -k/r

L = m/2 (r'² + r²phi'²) + k/r

J = mr² phi'

dphi/dt = J/mr²

dt = mr²/J dphi
T = [ (2m pi)/J * ] r²

T est proportionel au carré de r, ca foire donc completement...

donc je comprend pas...

loicus a écrit:

E = q' * dL/dq' - L -> (mais on as pas de relation en dt/d )

mais dans le cas de la lumiere..., on as pas de L
et on doit résoudre les equations de mouvement pour l'action generalisée...

Pour E, c'est bien comme cela qu'il faut faire.
Dans le syllabus, à un endroit, il explique le lagrangien pour une particule de masse nulle (me souvient plus, donc c'est mieux que t'ailles voir toi même)
Tu dois aussi réexprimer le E dans le

Si tu va voir dans les feuilles supplémentaires avec tous les calculs, je suis sûre qu'ils sont faits au moins pour une particule massive

non dans le syllabus c'est pas le lagrangien qu'il font pour une particule de masse nulle, c'est l'action generalisée....

un truc dans le genre S = 1/e g (dx )/d (dx )/d * d

tu ne peux pas tiré un lagrangien de cette action, car il dépenderais de e...
hors e est un parametre inconnu dans le cas d'une particule non massive....
tu dois donc utiliser le principe de moindre action, et tu trouve que les
d²x : /d²:tau: + dx/d:tau: dx/d:tau: = 0

et ca on sais le résoudre.... (c'est hyper long)
et on trouve les trajectoire, E et J

mais je vois quand meme pas comment ou trouve la 3eme lois de kepler, on sias trouver la période....
en fesant comme vincent le dis d /dt = 2pi/T

mais dnas le cas tout con, du probleme de kepler snas RG, je trouve une période T ~= r².... et je devrais trouvé T² ~= r³

donc jme pause des questions....

toujours pas d'idée les gens????
pcq moi j'ai tjrs pas capté

Je verrais peut-être ça lundi.

Je ne sais pas si ça peut aider, mais je me souviens que l'assistant nous avait donné le truc suivant:

L'équation de mouvement pour u=1/r et u'=du/dphi est donnée pour une particule massive (si je me souviens bien) par: u'²+u²=J²/qch(E²/c²+c²m) Pour une particule de masse nulle (photon) il suffit de retirer "naïvement" la masse (m=0) dans cette équation et de résoudre.

cas massif:
u'²+(1-2Mu)(u²+1/J²)=(E/Jc)² (car ds²/d ² = 1)

cas non massif
u'²+(1-2Mu)(u²+0)=(E/Jc)² (car ds²/d ² = 0)

ouais... mais ca résous pas le probleme de la 3eme lois de kepler...
jsuis désolé de faire chier... mais c'est vrai,

Je pense avoir trouver! en fait je n'ai fait que suivre les instruction d'un message antérieur de Vincent...
Et donc pour une orbite circulaire ont a dérivée que le rayon vaut 3/2r0. Puisque ce rayon est constant (orbite circulaire) tu peux utiliser l'équation du mouvement
u'²+A²u²=(E²/J²c²)*(1-m²c^4A²) et rouver que
J/E=sqrt(27)/2*(r0/2)*(1/Sqrt(1-m²c^4/3)) pour finalement conclure que

2pi/T=c^3/(2*sqrt(27)*GM*SQRT(1-m²c^4/3))

moralité la période de rotation autour d'un trou noir ne dépend que de sa masse. (assez logique car le rayon de l'orbite criculaire (instable) ne dépend que de la masse du TN)