Composantes indépendantes de Riemann

P105 : nombre de composantes indépendantes de Riemann N = d² (d²-1) / 3
p109 : N = d² (d²-1)/12

Est-ce parce que le deuxième est covariant et pas le premier ??? Je ne comprend pas très bien pourquoi il y a un facteur 4 de différence...

Question subsidiaire : pour avoir Ricci sans trace, on retire 1/3 R g . J'ai vainement essayé de calculer la trace de Ricci tout court sans arriver à rien, et encore moins à 1/3 R g . Je pense qu'il doit y avait une autre technique,mais je ne me souviens plus

En ce qui concerne le facteur 4 de différence c'est du au fait que pour avoir Riemann covariant tu a introduit la métrique qui est symétrique, tandis que pour le Riemann mixte on ne suppose pas l'existence d'une métrique.

Il s'ensuit que Riemann covariant a plus de propriétés de symétrie que Riemann mixte à savoir: R =-R =-R =R et R = tandis que R =-R

La différence entre ces propriétés induit que Riemann covariant a 4 fois moins de composantes que Riemann mixte.

oui c'est cela...

le tenseur de rieman mixte est definni en terme des
alors que le tenseur de rieman covariant est def en terme des g
il y a donc un gain de 4 parametre...

°R = R - 1/d R g

car la trace de R = R = g R
des lors la trace de
°R = °R = g °R
°R = g R - 1/d R g g
°R = R -1/d R d = R-R = 0

c'est vien ce que nous voulions

Ce qu'on dit Paraboloïde et Loïcus en gros en ce qui concerne les nombres de composantes indépendantes du tenseur de Riemann est correct.

Pour faire plus rigoureux, il faut faire un peu de combinatoire pour s'apercevoir qu'il y a un facteur 4 de différence pour le nombre de composantes indépendantes entre les deux tenseurs. Je ne me souviens plus si nous l'avions fait au TP, mais notre assistant m'a aidé à les calculer.

Si on le veut, je peux toujours écrire la démarche de calcul.

oui moi j'aimerais bien...

pcq je vois pas comment il trouve le d²(d²-1)/12

merci pour vos réponses, me doutais bien qu'il y avait quelque chose comme ça dans l'air, mais c'était pas évident

Voilà voilà, comme tu auras tout ça tout frais ce matin.
(Pour que je ne traîne pas trop avec les indices, il est conseillé d'avoir la feuille de la séance 2 et de la séance 4 devant soi).

Exercice préliminaire le 2.2.1.6 a) b) et c)

a) Tenseur de rang r dans un espace métrique à n dimensions : n^r composantes.
b) Ce tenseur est symétrique sur k indices: n^r-k * (n+k-1)!/(n-1)!k! composantes,
c'est-à-dire n^r-k fois le nombre de combinaison (l'ordre ne compte pas car symétrie) avec répétition sur les valeurs indicées
c) Ce tenseur est antisymétrique sur l indices: n^r-l * n!/(n-l)!l! composantes,
c'est-à-dire n^r-l fois le nombre de combinaison (l'ordre ne compte pas car antisymétrie) sans répétition sur les valeurs indicées (2 indices identiques au moins donnent un tenseur nul).

Composantes indépendantes du tenseur de Riemann contravariant

a - la propriété 4.3.2 a) nous montre qu'i s'agit du cas de l'exercice 2.2.1.6 c) et que les nombres de composantes sont:

d² * d!/(d-2)!2!

b - la propriété 4.3.2 b) nous montre une autre relation de dépendance entre les composantes.

Si les 3 indices entre crochets sont égaux, ou s'il y a au moins 2 indices égaux dans les crochets, on apprend rien de neuf car la propriété d'antisymétrie a déjà déduit les valeurs de ces composantes.

ex: R bbc + R bcb + R cbb = 0

le dernier terme est nul par la prop précédente, tandis que les 2 premiers s'annulent par la même prop d'antisymétrie.

Il ne reste que les équations où les indices entre-crochets sont tous différents.

Chaque équation, met une relation de dépendance entre 3 composantes. On doit soustraire à chaque fois une composante dans le nombre de composante trouvé à l'étape a.

Ce nombre est une combinaison sans répétitions sur 3 indices à d valeurs fois d (indice contravariant)

d *d!/(d-3)!3!

c- le nombre total est donc d² * d!/(d-2)!2! - d * d!/(d-3)!3! = d²(d²-1)/4

Tenseur covariant de Riemann

a- la propriété 4.3.2.c) nous renseigne sur plusieurs choses:
antisymétrie:
soit Rabcd, si on considère le nombre de couples (ab) et (cd) qui donnent des composantes indépendantes, on a K = d (d-1)/2 car on ne considère pour l'instant que 2 indices ici.

symétrie: Rabcd = Rcdab ou RIJ = RJI où I et J sont les couples à 2 indices considérés plus haut dans la propriété d'antisymétrie.
Le nombre de composantes indépendantes donne alors

K(K+1)/2 = d (d-1)/2 * (d (d-1)/2 +1)/2

b- par la propriété 4.3.2. d) et par la même démarche que pour la 4.3.2 b), on trouve que ces équations donnent des relations intéressantes que quand les 4 indices sont tous différents. On doit soustraire alors

d!/(d-4)!4! composantes

c- le nombre de composantes indépendantes est alors

d (d-1)/2 * (d (d-1)/2 +1)/2 - d!/(d-4)!4! = d²(d²-1)/12


C'est un peu compliqué à comprendre et je ne sais pas si j'ai assez bien expliqué, c'est pourquoi j'ai hésité à écrire cela dans le forum.
S'il y a un détail qui vous échappe, n'hésitez pas à m'en faire part.

nikel... merci...
de tte facon c'est pr la culture général

mais ca m'as bien éclairé