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 Composantes indépendantes de Riemann

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Sophie
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MessageSujet: Composantes indépendantes de Riemann   Lun 2 Jan - 15:23

P105 : nombre de composantes indépendantes de Riemann N = d² (d²-1) / 3
p109 : N = d² (d²-1)/12

Est-ce parce que le deuxième est covariant et pas le premier ??? Je ne comprend pas très bien pourquoi il y a un facteur 4 de différence...

Question subsidiaire : pour avoir Ricci sans trace, on retire 1/3 R g imu inu . J'ai vainement essayé de calculer la trace de Ricci tout court sans arriver à rien, et encore moins à 1/3 R g imu inu . Je pense qu'il doit y avait une autre technique,mais je ne me souviens plus Neutral

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Paraboloïde hyperbolique
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Lun 2 Jan - 17:39

En ce qui concerne le facteur 4 de différence c'est du au fait que pour avoir Riemann covariant tu a introduit la métrique qui est symétrique, tandis que pour le Riemann mixte on ne suppose pas l'existence d'une métrique.

Il s'ensuit que Riemann covariant a plus de propriétés de symétrie que Riemann mixte à savoir: R ialpha ibeta imu inu =-R ibeta ialpha imu inu =-R ialpha ibeta inu imu =R ibeta ialpha imu inu et R ialpha ibeta imu inu = imu inu ialpha ibeta tandis que R ealpha ibeta imu inu =-R ealpha ibeta inu imu

La différence entre ces propriétés induit que Riemann covariant a 4 fois moins de composantes que Riemann mixte.
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loicus
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Lun 2 Jan - 18:11

oui c'est cela...

le tenseur de rieman mixte est definni en terme des GAMMA ealpha imu inu
alors que le tenseur de rieman covariant est def en terme des g imu inu
il y a donc un gain de 4 parametre...

°R emu enu = R emu enu - 1/d R g emu enu

car la trace de R emu enu = R = g imu inu R emu enu
des lors la trace de
°R emu enu = °R = g imu inu °R emu enu
°R = g imu inu R emu enu - 1/d R g emu enu g imu inu
°R = R -1/d R d = R-R = 0

c'est vien ce que nous voulions Wink
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PST
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Mar 3 Jan - 0:20

Ce qu'on dit Paraboloïde et Loïcus en gros en ce qui concerne les nombres de composantes indépendantes du tenseur de Riemann est correct.

Pour faire plus rigoureux, il faut faire un peu de combinatoire pour s'apercevoir qu'il y a un facteur 4 de différence pour le nombre de composantes indépendantes entre les deux tenseurs. Je ne me souviens plus si nous l'avions fait au TP, mais notre assistant m'a aidé à les calculer.

Si on le veut, je peux toujours écrire la démarche de calcul.
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loicus
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Mar 3 Jan - 10:40

oui moi j'aimerais bien...

pcq je vois pas comment il trouve le d²(d²-1)/12
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Sophie
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Mar 3 Jan - 11:15

merci pour vos réponses, me doutais bien qu'il y avait quelque chose comme ça dans l'air, mais c'était pas évident Wink

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PST
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Mer 4 Jan - 1:08

Voilà voilà, comme tu auras tout ça tout frais ce matin.
(Pour que je ne traîne pas trop avec les indices, il est conseillé d'avoir la feuille de la séance 2 et de la séance 4 devant soi).

Exercice préliminaire le 2.2.1.6 a) b) et c)

a) Tenseur de rang r dans un espace métrique à n dimensions : n^r composantes.
b) Ce tenseur est symétrique sur k indices: n^r-k * (n+k-1)!/(n-1)!k! composantes,
c'est-à-dire n^r-k fois le nombre de combinaison (l'ordre ne compte pas car symétrie) avec répétition sur les valeurs indicées
c) Ce tenseur est antisymétrique sur l indices: n^r-l * n!/(n-l)!l! composantes,
c'est-à-dire n^r-l fois le nombre de combinaison (l'ordre ne compte pas car antisymétrie) sans répétition sur les valeurs indicées (2 indices identiques au moins donnent un tenseur nul).

Composantes indépendantes du tenseur de Riemann contravariant

a - la propriété 4.3.2 a) nous montre qu'i s'agit du cas de l'exercice 2.2.1.6 c) et que les nombres de composantes sont:

d² * d!/(d-2)!2!

b - la propriété 4.3.2 b) nous montre une autre relation de dépendance entre les composantes.

Si les 3 indices entre crochets sont égaux, ou s'il y a au moins 2 indices égaux dans les crochets, on apprend rien de neuf car la propriété d'antisymétrie a déjà déduit les valeurs de ces composantes.

ex: R ealpha bbc + R ealpha bcb + R ealpha cbb = 0

le dernier terme est nul par la prop précédente, tandis que les 2 premiers s'annulent par la même prop d'antisymétrie.

Il ne reste que les équations où les indices entre-crochets sont tous différents.

Chaque équation, met une relation de dépendance entre 3 composantes. On doit soustraire à chaque fois une composante dans le nombre de composante trouvé à l'étape a.

Ce nombre est une combinaison sans répétitions sur 3 indices à d valeurs fois d (indice contravariant)

d *d!/(d-3)!3!

c- le nombre total est donc d² * d!/(d-2)!2! - d * d!/(d-3)!3! = d²(d²-1)/4

Tenseur covariant de Riemann

a- la propriété 4.3.2.c) nous renseigne sur plusieurs choses:
antisymétrie:
soit Rabcd, si on considère le nombre de couples (ab) et (cd) qui donnent des composantes indépendantes, on a K = d (d-1)/2 car on ne considère pour l'instant que 2 indices ici.

symétrie: Rabcd = Rcdab ou RIJ = RJI où I et J sont les couples à 2 indices considérés plus haut dans la propriété d'antisymétrie.
Le nombre de composantes indépendantes donne alors

K(K+1)/2 = d (d-1)/2 * (d (d-1)/2 +1)/2

b- par la propriété 4.3.2. d) et par la même démarche que pour la 4.3.2 b), on trouve que ces équations donnent des relations intéressantes que quand les 4 indices sont tous différents. On doit soustraire alors

d!/(d-4)!4! composantes

c- le nombre de composantes indépendantes est alors

d (d-1)/2 * (d (d-1)/2 +1)/2 - d!/(d-4)!4! = d²(d²-1)/12


C'est un peu compliqué à comprendre et je ne sais pas si j'ai assez bien expliqué, c'est pourquoi j'ai hésité à écrire cela dans le forum.
S'il y a un détail qui vous échappe, n'hésitez pas à m'en faire part.
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loicus
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MessageSujet: Re: Composantes indépendantes de Riemann   Mer 4 Jan - 11:05

nikel... merci...
de tte facon c'est pr la culture général Wink

mais ca m'as bien éclairé
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