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 Représentation de Dirac - les gamma i

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Sophie
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MessageSujet: Représentation de Dirac - les gamma i   Dim 11 Déc - 13:24

J'essaie de comprendre ce que sont les gamma ei dans les trois premières lignes de (A-22), en vain. gamma est une matrice à 4 coefficients, comment peut-on en tirer les 3 gamma ei ??? Shocked

Je ne vois pas non plus pourquoi il prend ces relations pour définir alpha et beta . A moins que ce ne soit par définition, pour obtenir toutes les bonnes propriétés ? Faut il par conséquent redémontrer les propriétés 2-7 à partir de là pour montrer que ça marche bien ? pale

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Paraboloïde hyperbolique
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Dim 11 Déc - 18:47

Pour répondre à ta question, il s'agit juste d'une confusion. gamma pour l'auteur est un vecteur contenant les matrices gamma ei (vues comme des vecteurs!). On a donc: gamma =( gamma e1 , gamma e2 , gamma e3 ).

Les formes des alpha et de beta donnés ici sont un cas particulier qui vérifient les propriétés que nous voulons. Comme écrit, il s'agit d'une représentation des propriétés voulues. On peut écrire d'autres matrices qui vérifient ces mêmes proriétés comme c'est le cas dans les représentations de Majorana et Chirale.

Quand à savoir s'il faut démontrer que ça marche bien, mystère...
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Sophie
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Dim 11 Déc - 19:53

Paraboloïde hyperbolique a écrit:
gamma pour l'auteur est un vecteur contenant les matrices gamma ei (vues comme des vecteurs!). On a donc: gamma =( gamma e1 , gamma e2 , gamma e3 ).
Oui, tout ça je l'avais bien compris, gamma est un vecteur (même si ce qui me confusionne est de voir une matrice...) alors tu peux certainement me donner explicitement les gamma ei ou me montrer comment les trouver parce que moi je ne vois pas. Ou à la limite, les trois alpha parce que le problème est le même je pense. Confused

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Paraboloïde hyperbolique
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Dim 11 Déc - 21:13

Oui, on peut donner une forme explicite. Mais il y en a plusieurs (une infinité en fait). Ce que l'on sait est que ces matrices vérifient { alpha ii , alpha ij }=0 si i différent de j, alpha ²=I, etc...

A partir de là il faut se débrouiller pour qu'une forme explicite de celles-ci vérifient ces propriétés. Tu peux tout aussi bien construire une forme explicite avec des matrices 4x4 que des 6x6, 8x8 etc... (physiquement on s'en tient au 4x4 pour la coordonnée temporelle et les coordonnées 3 spatiales). On a en effet vu que ces matrices sont d'ordre d avec d>=4 et d pair.

Quant à construire une des formes explicites, je crois qu'il faut essayer. Par exemple fixer beta =I et voir ce que deviennent les autres matrices qui doivent vérifier les propriétés. Si ce n'est pas assez, donner une valeur arbitraire à une autre matrice (ou à une ou plusieurs de ces entrées) et à nouveau voir ce que deviennent les autres en fonction des propriétés voulues. Personnellement je n'ai pas essayé.
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Sophie
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Lun 12 Déc - 10:55

Oui, je suis d'accord, mais dans la représentation de Dirac, ces matrices doivent quand même être fixées, non ?

Par exemple, pour calculer gamma 5 (4ème ligne), qui est par définition i gamma e0 gamma e1 gamma e2 gamma e3, j'ai besoin de connaître les gamma ei !

Si on accepte les deux premières lignes comme définition pour la représentation de Dirac (qui définissent alpha et beta ), je pense qu'on doit pourvoir trouver toutes les lignes suivantes, non?

Personne n'a essayé de faire ces calculs ?

PS : Aaahh, je viens de trouver les gamma ei p 49 Razz Je vais ptêt pouvoir m'en tirer avec ça...
PPS : En effet, ça marche bien Very Happy

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Paraboloïde hyperbolique
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Lun 12 Déc - 11:26

Citation :
PS : Aaahh, je viens de trouver les p 49 Je vais ptêt pouvoir m'en tirer avec ça...

Toutes le représentations dont on a parlé au cours sont données explicitement dans l'appendice... Rolling Eyes
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Sophie
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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Lun 12 Déc - 11:29

oui, mais dans la définition qu'il avait donné des gamma (en général, sans détailler qui est dans l'appendice), je n'avais pas compris ce qu'étaient chacun des gamma ei séparément Embarassed

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MessageSujet: Re: Représentation de Dirac - les gamma i   Lun 12 Déc - 23:25

Là c'est tout l'art de trouver des représentations d'un groupe. Moi je n'ai vérifier que dans un sens (i.e. les gamma et les alpha vérifient les propriétés 2-7 et 2-Cool.
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