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 Labo théorique (A-14)

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Sophie
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MessageSujet: Labo théorique (A-14)   Sam 10 Déc - 17:28

Je ne vois pas du tout comment montrer ça. Il faudrait montrer que gamma 5 = gamma e-1 (= gamma dagger ) Mais je ne vois pas du tout sur quoi me baser.
Et je pense que cette idée doit revenir plus tard parce que j'ai d'autres problèmes du même style après Razz

Et antihermitien, ca veut simplement dire gamma dagger = - gamma ?

D'autre part, faut-il démontrer les équations (A-18 ) ou c'est des affirmations ? Parfois, c'est assez difficile de faire la différence Embarassed

Merci !

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Philippe
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Sam 10 Déc - 23:29

En fait je pense que la propriété principale à voir est que
gamma emu gamma enu = -gamma enu gamma emu si emu <> enu (relation d'anticommutation). Car tu peux alors permuter les gamma emu dans tes calcul et faire gaffe au signe. Donc pour A-14 ( je dit que 3= gamma e3 pour simplifié la notation...)
Ona si u=1,2,3 (quand ona uu au lieu de permuter celui de droite au déplace celui de gauche en perdant une permutation)
i0123u+iu0123=i0u123+iu0123=i{u,0}123=0.
si u=0
i0123u+iu0123=-i0u123+iu0123=i00123-i00123=0 et les A-18 sont démontrables... il faut jouer avec les relation d'anticommutation des gamma et les gamma0
Si quelqu'un avait une solution pour A-16 seconde partie je suiis interessé.
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Sophie
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Dim 11 Déc - 11:02

Ah pardon, j'avais oublié qu'il y avait deux relations pour (A-14), je pensais plutôt à la première, montrer que gamma 5 ² = 1

si j'ai bien compris ton raisonnement pour la seconde équation (A-14), tu fais des permutations pour mettre les gamma aux mêmes indices l'un à côté de l'autre (et donc avoir deux membres égaux) et il y a un moins à chaque permutation.

Comme le nombre total de permutations est toujours 3 pour les deux membres et que 3 est toujours somme d'un nombre pair et d'un nombre impair, il y aura toujours un moins qui s'ajoute dans un des membres et pas dans l'autre.

Pour la (A-16), il faut tout développer en termes des gamma (garde les gamma 5 pour le moment).

Quand tu as développé, tu vois que si mu = 🇳🇺, ça fait 0.

Si ce n'est pas le cas, pose mu < 🇳🇺 (si c'est le contraire, il n'y aura qu'un signe moins au total qui change donc c'est pas très important vu que tu dois montrer que c'est nul Razz ). Ensuite ordonne tes gamma dans l'ordre gamma mu gamma 🇳🇺 (en mettant les moins qu'il faut). Tu peux regrouper tes termes et les demi ne sont plus là. Tu obtiens i[ gamma 5, gamma mu gamma 🇳🇺 ] .

Ensuite tu fais le même raisonnement qu'au point (A-17) sauf qu'ici il y a toujours 6 permutations au total et 6 est toujours somme de deux nombres pairs => les deux membres gardent leur différence du signe moins => = 0.

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Sophie
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Dim 11 Déc - 12:59

Je viens de comprendre un truc, c'est que gamma e0 gamma e0 = 1 Razz
Ca aide vachement pour trouver que gamma 5 = 1.
Pour ce qui est des gamma ei , je pensais que gamma ei gamma ei = 1 mais pour que ça marche, on dirait que ça doit valoir -1. J'ai plutôt l'impression qu'il fait écrit le contraire en (2-7)... Confused

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Philippe
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Dim 11 Déc - 17:38

En fait c'est la A-17 (et non la A-16) qui me résiste et à Nadi aussi on dirait...
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Dim 11 Déc - 17:45

oui, j'ai l'impression qu'il faut s'aider des resultats de la contraction du tensuer de levi civita et en faisant intervenir avant ca le tenseur metrique pour baisser certains indices, mais je ne vois pas ou intervient gamma5
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Dim 11 Déc - 18:41

Pareil pour moi, je ne parviens pas à faire la A-17. Si quelqu'un a une solution... (Sinon j'ai fais tout ce qui précède).
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Sophie
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MessageSujet: Re: Labo théorique (A-14)   Lun 12 Déc - 10:36

Tadaammm j'ai compris Very Happy (Comme quoi la nuit porte conseil Razz )
En fait, c'est assez simple.
gamma 5 ² = ( gamma 5) (gamma 5)
= (i gamma e3 gamma e2 gamma e1 gamma e0 ) (i gamma e0 gamma e1 gamma e2 gamma e3 )
= - gamma e3 gamma e2 gamma e1 gamma e0 gamma e0 gamma e1 gamma e2 gamma e3
= - gamma e3 gamma e2 gamma e1 beta beta gamma e1 gamma e2 gamma e3
= - gamma e3 gamma e2 gamma e1 gamma e1 gamma e2 gamma e3
or on sait que gamma e1 gamma e1 = alpha e1 beta alpha e1 beta = - alpha e1 beta beta alpha e1 = - alpha e1 alpha e1 = -1.
C'est le même raisonnement pour les autres gamma ei
=> gamma 5 ² = - (-1) (-1) (-1) = 1

Pour la (A-17), on utilise le même principe.
Pour le premier membre, tu fais avancer le gamma e0 et le gamma ei pour les avoir un à côté de l'autre et les supprimer. Il te reste i (-1)^(3-m) gamma ej gamma ek (où j<k et m remplace l'indice i pour éviter la confusion avec le nombre imaginaire)
pour le deuxième membre, tu fais gamma ej gamma ek = - gamma ek gamma ej et tu sommes sur l'epsilon puis tu refais la même égalité. Prends un exemple et décompose l'égalité, ça te paraîtra plus simple Wink

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