Bon tout d'abord, comme la relation est décrite, il n'y a pas d'homomorphisme. En effet, h(g(0)) = h(1) = 1 et h(g(2
) = h(-1) = 1. Cela veut dire que h(1) = h(-1) = 1
pas d'isomorphisme et ker G = {-1,1} que l'on nomme Z ou Z
En réalité, ce qui pose problème, c'est le facteur 1/2 dans les exponentielles de ta matrice. Tu peux voir (et faire l'exercice) que si il n'était pas là, on aurait un isomorphisme.
En fait, on peut remarquer dans cet exemple, qu'on aura chaque fois g(
) et g(
+2
) qui vont donner le même élément par h. Ca aussi tu peux le vérifier par calculs.
Donc, il suffit de partager le sous-groupe SO(2) en deux classes d'équvalences {g(
), g(
+2
) }.
Pour ramener ça à l'idée des fonctions, c'est comme si tu avait la fonction x² définie sur R. Tu veux qu'elle soit bijective et tu "coupes" ton axe R en deux : les positifs et les négatifs. Ainsi, tu as 2 parties où ta fonction est bijective. C'est un peu ce qu'on fait ici
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