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 Ex 44 p12 du syllabus de TP

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Gaëtan
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MessageSujet: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 15:39

Rolling Eyes Wink Au point (b) pour N=n1 + n2 =1, on a trouvé en séance qu'un état propre commun à ghchap et L était :

PHI i1 i0 = r/a² . exp(-r²/2a²) . ( u1(phi) + u-1(phi) )

Ici, la v.p de ghchap est 2 hbarre omega

mais celle de L, est-elle bien de 0 ??. Si oui, elle l'est dans tout les états propres communs suivants...je trouvais ça étrange. Je me demandais si j'avais pas loupé un truc !

Merci pour les réponses Wink
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Benjamin
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 15:49

les vercteurs propres de L à 2 dimensions c'est exp[im:chi:] et u1= exp[i:chi:] et u(-1)=exp[-i chi] donc les deux valeurs propres sont +et - hbarre
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:06

Oui d'accord mais L ( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = hbarre - hbarre =0

Non...??? confused
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Benjamin
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:11

L ( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = hbarre exp(i phi)- hbarre exp(-i phi)
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:13

Ah oui, là je suis un Boulet professionnel.
Merci benja... Very Happy
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:15

Oui mais alors ( exp(i phi) + exp (-i phi) ) n'est pas état propre de L ??
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Benjamin
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:18

bin oui c'est deux états propres (foctions fropres vecteurs propres) de L
par linéarité la somme des deux est aussi un vecteur de L
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:21

Ben non, regarde :

L( exp(i phi) + exp(-i phi) ) = hbarre exp(i phi) - hbarre exp(-i phi)

et ca c'est différent de alpha (exp(i phi) + exp(-i phi) ...
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:23

oui d'accord mais tu veux savoir ca pourquoi?
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:25

Parce qu'on affirme avoir trouvé un état propre commun à H et L or ce n'est pas le cas...??????? Neutral
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:28

c'est pas ca alorss qu'il faut dire, il faut dire que u1 et u-1 forme une base commune à H et L pour N=1.
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:32

Ouais ben c la que je décroche en fait. Si u1 et u-1 forment une base communes de vecteurs propres de H et L, alors u1 + u-1 devrait aussi etre vecteur propre de L or ce n'est pas le cas...?
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:37

je pense pas alors que, parce que on a une base de vecteur propre alors on peut dire ca, en tout cas dans le cours on a jamais utilisé d'argument pareil et ca ne change rien à tout ce que l'on a "construit" en MQ
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:41

ce qu'il faut dire, je pense, c'est que si une particule est dans l'état
c1 . u1 (phi) + c-1 . u-1(phi), alors, les vp sont hbarre avec proba |c1|² et - hbarre avec proba |c-1|²...tu crois pas confused
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Benjamin
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:44

100% d'accord
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 17:48

Yeh baby...!!
Moi je dis, toi et moi, on finira toujours par s'entendre... lol!
thumleft thumright thumleft thumright thumleft thumright
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Ven 27 Mai - 18:04

Gaëtan a écrit:
Ouais ben c la que je décroche en fait. Si u1 et u-1 forment une base communes de vecteurs propres de H et L, alors u1 + u-1 devrait aussi etre vecteur propre de L or ce n'est pas le cas...?

pour moi si u1 et u2 est une base des vecteur propres de L et H
alors Lu1 = lambda u1
et Hu1 = E u1
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Florian
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Lun 30 Mai - 11:31

Message de Gaëtan, reçu ce samedi :

"Je me suis également posé une question au sujet de l'exercice 44 page 12 du syllabus de TP. Au point (b), on doit trouver une base d'états
propres simultanés de H et de L. Cela veut-il dire que la base que l'on a trouvée engendre un espace propre commun à H et à L ? Je ne crois
pas que ce soit le cas. En effet, en séance, on avait trouvé que

phi10 (x,y) = a^-2 . r . exp(-r²/2a²) ( u1 (phi) + u-1 (phi) )

était un vecteur de la base commune de L et H pour N = n1 + n2 = 1.

Or cette fonction n'est pas elle-même une fonction propre de L puisque

L ( u1 (phi) + u-1 (phi) ) = hbarre . u1 (phi) - hbarre . u-1 (phi)

ce qui est différent de

cst . (u1 (phi) + u-1 (phi) )

Ne faudrait-il pas dire que cette "base" d'états propres communs permet par combilis, d'engendrer tout les états propres de H et de L mais
que toutes les combilis de H et L ne sont pas à la fois état propre de H et L ? "

Bon, du calme, je vais essayer de remettre les idees en place, car on dirait que je n'ai pas ete tres clair en seance...

D'une part, on voit que H et L commutent, donc ils doivent admettre dans l'espace de Hilbert une base d'etats propres communs.

D'autre part, il est facile de construire une base d'etats propres phi_{n1,n2} de H de valeur propre hbar.omega.(n1+n2+1). Mais rien n'indique que ces etats sont egalement etats propres de L.

On voit que tous les etats phi_ {n1,n2} tels que n1+n2=N sont degeneres, c'est-a-dire qu'ils ont tous la meme energie. Donc ils forment une base d'un sous-espace de l'espace de Hilbert dont tous les etats sont eux-meme etats propres de H de meme energie. Dans ce sous-espace, il doit exister une autre base d'etats psi_{N,m} qui sont bien sur etats propres de H, mais egalement de L. En seance, nous avons ainsi cherche, pour N=0,1,2, a determiner ces psi_{N,m} en exprimant les phi_{n1,n2} comme combili de ceux-ci.

Donc, pour N=1, phi_{0,1} et phi_{0,1} sont des etats propres degeneres de H d'energie 2.hbar.omega (mais pas des etats propres de L), ils engendrent donc un sous-espace de dimension 2 d'etats propres de H de meme energie. Dans ce sous-espace, nous avons pu trouver une autre base d'etats psi_{1,+ou- 1}=f(r).u_{+ou- 1}(phi) qui sont bien sur etats propres de H, mais egalement de L.
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Lun 30 Mai - 16:14

Merci Florian pour la réponse (et aussi la réponse par mail) mais je comprends toujours pas pourquoi les

psi_{1,+ou- 1}=f(r).(2 pi )^-1/2 . exp(+ou-im phi)

sont états propres de H. On ne l'a pas montré ! On a juste montré que les phi_{0,1} et phi_{1,0} pouvait s'exprimer en fonction des psi_{1,+ou- 1} et pas l'inverse. Pour obtenir un état propre commun à H et L, ne faudrait-il pas exprimer les psi_{1,+ou- 1} en fonction des psi_{1,+ou- 1}. Ainsi, on resterait dans le sous-espace propre de H de valeur propre 2 hbarre omega ?
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Florian
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Mer 1 Juin - 9:50

On a en effet montré en séance que les phi_{0,1} et phi_{1,0} peuvent s'exprimer comme combili des psi_{1,+1} et psi_{1,-1}. Mais tu peux facilement montrer que la matrice 2X2 qui exprime cette combili est inversible, et exprimer ainsi les psi_{1,+1} et psi_{1,-1} comme combili des phi_{0,1} et phi_{1,0}.

Donc les psi_{1,+1} et psi_{1,-1}, que l'on savait déjà états propres de L, sont aussi états propres de H de valeur propre 2.hbar.omega. Ils font partie de cette base d'etats propres communs de H et de L que l'on sait exister car les deux opérateurs commutent.
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Gaëtan
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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   Mer 1 Juin - 10:21

Ok merci Florian. Tout est clair maintenant.

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MessageSujet: Re: Ex 44 p12 du syllabus de TP   

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