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 Harmoniques sphériques = tenseurs

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Sophie
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MessageSujet: Harmoniques sphériques = tenseurs   Lun 23 Mai - 11:29

C'est ce qu'a affirmé M. Weyers plusieurs fois au cours...
il a dit que c'était un tenseur de la forme t ei ej = r ei r ej /r² pour les harmoniques sphériques quand l=2, si j'ai bien noté.
Or pour l=2, on a 5 harmoniques sphériques (m=-2,1,0,1,2). Donc j'aurais dit, à la limite, ça fait un tenseur d'ordre 1, un vecteur à 5 composantes.
En fait, je je vois pas ce que pourrait être ce tenseur d'ordre 2...
Quelqu'un a une idée de ce que sont ses composantes Question

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PST
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MessageSujet: Re: Harmoniques sphériques = tenseurs   Lun 23 Mai - 23:35

En fait Sophie, petit détail qui a toute son importance, les harmoniques sphériques, en particulier pour l=2 sont de la forme

t ei ej =r ei r ej /r² - 1/3 delta ei ej

(c'est-à-dire, ce que tu as écrit moins la trace du tenseur).

En effet, c'est un tenseur symétrique pour lequel il y a 5 composantes indépendantes, donc de dimension 5.

Les harmoniques sphériques sont de là des tenseurs car leurs composantes sont proportionnelles au t ei ej cités plus hauts.

En effet, si tu transformes les Yml exprimées en coordonnées sphériques vers les coordonnées cartésiennes, tu obtiendras des Yml proportionnelles pour l=2 à x ei x ej , c'est-à-dire aux composantes du vecteur xfleche .

Si tu jettes un coup d'oeil aux tables que Florian nous a gentiment donné dans les feuilles annexes des TPs quantiques (c'est la dernière page, où l'on exprime les harmoniques sphériques en coordonnées cartésiennes), tu verras que les les Ym2 sont bien proportionnelles aux t ei ej. Et voilà leurs composantes (je ne les note pas ici car tout les PHYS12 sont censés avoir cette page, sinon, cherchez Spherical Harmonic dans mathworld.worldfram.com ).

Voilà, j'espère t'avoir éclairé à ce propos.
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Sophie
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MessageSujet: Re: Harmoniques sphériques = tenseurs   Mar 24 Mai - 9:45

Oki, ca va un peu mieux. Je suis d'accord que les Y2m sont proportionnels aux x ei x ej dans les coordonnées cartésiennes. Mais ne faut-il pas tenir compte du terme en 1/r²? Je veux dire r² dépend de x, y et z aussi...

Et le deuxième point que je ne comprend pas trop, c'est pourquoi on retire le 1/3 delta ei ej. Je sais qu'on le fait principalement parce qu'il faut que la dimension soit 5 et qu'on en a 6 si on ne le retire pas... Mais comment sait-on ce qu'on doit retirer précisément?

Si j'ai bien compris, les Y1m seront des tenseurs t ei = x ei /r - quelque chose... Ca voudrait dire que les Y1m sont des vecteurs ^^ ???

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loicus
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MessageSujet: Re: Harmoniques sphériques = tenseurs   Mar 24 Mai - 10:01

Lf(r) = 0
ce qui explique ta question avec 1/r², il commute donc on s'en fout en faite... Wink

ensuite on retire 1/3 delta ei ej
parceque comme ca on as un tenseur de trace nulle Smile

bhen evidement que les Y sont des vecteurs, pas seulement les Y1 d'ailleur... étant donné que c'est le vecteur propre de valeur propre m
on choisis meme ce groupe de vecteur comme base de l'espace de hilbert Wink

c'est bien fait hein quand meme Wink :p
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Florian
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MessageSujet: Re: Harmoniques sphériques = tenseurs   Mar 24 Mai - 10:55

En fait, quand Weyers dit que les harmoniques sphériques d'ordre 2 forment un tenseur (symétrique de trace nulle), il veut simplement indiquer comment elles se transforment sous rotation.

Je m'explique :

Le groupe des rotations agit naturellement sur l'espace vectoriel des fonctions de theta et de phi. La représentation ainsi définie peut se décomposer en représentations irréductibles. Chacune agit sur un sous-espace invariant, labellés par l, et engendrés les harmoniques sphériques correspondantes.

Donc le groupe des rotations mélange les harmoniques sphériques de l fixé. Pour voir comment elles se transforment, il est naturel de les écrire en coordonnées cartésiennes, car on sait bien comment se transforme x^i/r.

Ainsi :
-pour l=0, Y_0^0 est proportionnelle à 1, et se transforme comme un scalaire.
-pour l=1, les Y_1^m sont des combinaisons linéaires des x^i/r, et se transforment comme des vecteurs.
-pour l=2, les Y_2^m sont des combinaisons linéaires des x^ix^j/r² -1/3delta^ij, et se transforment comme des tenseurs symétriques de trace nulle.

Rien à voir avec le fait que les harmoniques sphériques sont des vecteurs de l'espace vectoriel des fonctions de theta et phi...
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Sophie
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MessageSujet: Re: Harmoniques sphériques = tenseurs   Mar 24 Mai - 11:04

Ah oki Very Happy Tout commence à s'éclairer...
Je ferai quelques rotations demain pour vérifier tout ça !
En tout cas, merci beaaauuuuucoup à tout le monde Wink

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